【正文】 處理信號(hào)的維數(shù)分為一維、二維或多維數(shù)字濾波器。一維數(shù)字濾波器處理的信號(hào)為單變量函數(shù)序列，例如時(shí)間函數(shù)的抽樣值。二維或多維數(shù)字濾波器處理的信號(hào)為兩個(gè)或多個(gè)變量函數(shù)序列。例如，二維圖像離散信號(hào)是平面坐標(biāo)上的抽樣值。 與模擬濾波器相同，數(shù)字濾波器從功能上看可分為低通、高通、帶通和帶阻幾類。因?yàn)樗鼈兊膯挝幻}沖響應(yīng)是非因果且無限長的，所以實(shí)際上理想濾波器 是不可能實(shí)現(xiàn)的。與模擬濾波器不同的是數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)都是以 2π為周期的，濾波器的低通頻帶處于 2π的整數(shù)倍處，而高頻頻帶處于π的奇數(shù)倍附近 。 理想濾波器就是一個(gè)讓輸入信號(hào)中的某些有用頻譜分量無任何變化的通過，同時(shí)又能完全抑制另外那些不需要的成分的具有某種選擇性的器件、網(wǎng)絡(luò)或以計(jì)算機(jī)硬件支持的計(jì)算機(jī)程序。根據(jù)對(duì)不同信號(hào)的處理可將濾波器分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器兩種。模擬濾波器和數(shù)字濾波器的概念相同，只是信號(hào)的形式和實(shí)現(xiàn)濾波方法不同。數(shù)字濾波器是指輸入輸出都是數(shù)字信號(hào)的濾波器。 3 濾波器的濾波原理局勢(shì)根據(jù)信號(hào) 與噪聲占據(jù)不同的頻帶，將噪聲的頻率放在濾波器的阻帶中，而由于阻帶的響應(yīng)為零，這樣就濾去了噪聲。一個(gè)理想濾波器將。是一個(gè)無法實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)，我們只能用一個(gè)穩(wěn)定的因果系統(tǒng)函數(shù)去逼近工程需要的確定的性能要求。 數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng) (IIR)濾波器和有限長沖激響應(yīng) (FIR)濾波器。 IIR 濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)。這種濾波器一般需要用遞歸模型來實(shí)現(xiàn)，因而有時(shí)也稱之為遞歸濾波器。 FIR 濾波器的沖激響應(yīng)只能延續(xù)一定時(shí)間，在工程實(shí)際中可以采用遞歸的方式實(shí)現(xiàn)， 也可以采用非遞歸的方式實(shí)現(xiàn)。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有多種，如雙線性變換法、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法、插值逼近法和 Chebyshev 逼近法等等。隨著MATLAB 軟件尤其是 MATLAB 的信號(hào)處理工作箱的不斷完善，不僅數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)有了可能，而且還可以使設(shè)計(jì)達(dá)到最優(yōu)化。 （ 1）確定指標(biāo) 在設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器之前，必須首先根據(jù)工程實(shí)際的需要確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)。在很多實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)字濾波器常常被用來實(shí)現(xiàn)選頻操作。 因此，指標(biāo)的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應(yīng)。幅度指標(biāo)主要以兩種方式給出。第一種是絕對(duì)指標(biāo)。它提供對(duì)幅度響 應(yīng)函數(shù)的要求，一般應(yīng)用于 FIR濾波器的設(shè)計(jì)。第二種指標(biāo)是相對(duì)指標(biāo)。它以分貝值的形式給出要求。在工程實(shí)際中，這種指標(biāo)最受歡迎。對(duì)于相位響應(yīng)指標(biāo)形式，通常希望系統(tǒng)在通頻帶中具有線性相位。 運(yùn)用線性相位響應(yīng)指標(biāo)進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)具有如下優(yōu)點(diǎn)：①只包含實(shí)數(shù)算法，不涉及復(fù)數(shù)運(yùn)算；②不存在延遲失真，只有固定數(shù)量的延遲；③長度為 N 的濾波器 (階數(shù)為 N1)，計(jì)算量為 N/2 數(shù)量級(jí)。 (2)逼近 確定了技術(shù)指標(biāo)后，就可以建立一個(gè)目標(biāo)的數(shù)字濾波器模型。通常采用理想的數(shù)字濾波器模型。之后，利用數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)出一個(gè)實(shí)際濾波 器模型來逼近給定的目標(biāo)。 (3)性能分析和計(jì)算機(jī)仿真 上兩步的結(jié)果是得到以差分或系統(tǒng)函數(shù)或沖激響應(yīng)描述的濾波器。根據(jù)這個(gè)描述就可以分析其頻率特性和相位特性，以驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果是否滿足指標(biāo)要求；或者利用計(jì)算機(jī)仿真實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)的濾波器，再分析濾波結(jié)果來判斷。 （ 4） 濾波器的性能指標(biāo) 我們?cè)谶M(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，需要確定其性能指標(biāo)。一般來說，濾波器的性能要求往往以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器特性為例，頻率響應(yīng)有通帶、過渡帶及阻帶三個(gè)范圍。 4 在通帶內(nèi)： ? ? 11 ??? jwP eHA cww? 在阻帶中： ? ? stjw AeH ? cst ?? 其中 cw 為通帶截止頻率， Ap 為通帶 誤 差 ， stA 為阻帶誤差。 與模擬濾波器類似，數(shù)字濾波器按頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是周期性的，周期為 ?2 。 IIR 數(shù)字濾波器 采用方法的原理 利用模擬濾波器成熟的理論及其設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字低通濾波器是常用的方法。 設(shè)計(jì)過程 按照數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)要求設(shè)計(jì)一個(gè)過度模擬低通濾波器，在按照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將轉(zhuǎn) 換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。由此可見，設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題就是找到這種轉(zhuǎn)換關(guān)系，將 s平面上的轉(zhuǎn)換成 z平面上的。為了保證轉(zhuǎn)換后的穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標(biāo)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求： （ 1） 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 （ 2） 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響特性， s平面的虛軸映射為 z平面的單位圓，響應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系。 一個(gè)無限脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有可選擇極點(diǎn)和可選擇零點(diǎn)（而有線脈沖響應(yīng)系統(tǒng)只具有可選擇零點(diǎn)以及位于原點(diǎn)的固定極點(diǎn)）。模擬系統(tǒng)同樣具有極點(diǎn)和 零點(diǎn)，甚至經(jīng)常只有極點(diǎn)（多項(xiàng)式濾波器或全幾點(diǎn)濾波器）。由此得出結(jié)論是，通過把 PN 圖從 s 域映像變換到 z 域中，可以用一個(gè)無限脈沖（ IIR）系統(tǒng)對(duì)模擬濾波器進(jìn)行數(shù)字仿真。 目前， IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有了一套相當(dāng)成熟的方法，它不但有完整的設(shè)計(jì)公式，而且還有較為完整的圖表供查詢，因此，充分利用這些已有的資源將會(huì)給數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)帶來很大方便 。 將高通、帶通或者帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)先轉(zhuǎn)化為低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后按上述步驟 (2)設(shè)計(jì)出模 擬低通濾波器 H(s)，再由沖擊響應(yīng)不變法或雙線性變換將 H(s)轉(zhuǎn)換為所需的 H(z)。 s z 映射的方法有：沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法等。實(shí)際中有三種廣泛應(yīng)用的濾波器原型，既巴特沃斯低通濾波器、切比雪夫低通濾波器、橢圓低通濾波器。 5 巴特沃斯低通濾波器 這種濾波器的特征是其通帶和阻帶都有平坦的幅度響應(yīng)。 N階低通濾波器的平方幅度響應(yīng)的表達(dá)式為： 2221( ) ( )1a NcA H j jj? ? ? ? ???? ????? 通帶 ： 使信號(hào)通過的頻帶 阻帶：抑制噪聲通過的頻帶 過渡帶：通帶到阻帶間過渡的頻率范圍 Ωc ：截止頻率。 過渡帶為零 阻帶 |H(jΩ )|=0 通帶內(nèi)幅度 |H(jΩ)|=cons. H(jΩ)的相位是線性的 其中 N 為濾波器的階數(shù)， Ω c是邊緣頻率 (單位為 rad/s)。取 N=1,2