【正文】 ？ 4．解 （ 1）由已知 )( qqqqqpR ????? 利潤函數(shù) 222 qqqqqqCRL ?????????? 則 qL ??? ，令 ???? qL ，解出唯一駐點 250?q . 因為利潤函數(shù)存在著最大值，所以當產(chǎn)量為 250 件時可使利潤達到最大， （ 2）最大利潤為 )250( 2 ?????????L （元） 5．某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品 q 件的成本函數(shù)為 9 8 0 )( 2 ??? qqqC （元） .為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應為多少？此時，每件產(chǎn)品平均成本為多少？ 5. 解 因為 Cq() =Cqq()= 0 5 36 9800. qq? ? （ q?0 ） ?Cq( ) = ( . )0 5 36 9800qq? ? ?=05 98002. ? q 令 ?Cq( ) =0，即 0 5 98002. ? q=0，得 q1 =140， q2 = 140（舍去） . q1 =140 是 Cq() 在其定義域內(nèi)的唯一駐點，且該問題確實存在最小值 . 所以 q1 =140 是平均成本函數(shù) Cq() 的最小值點，即為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應為 140 件 . 此時的平均成本為 C( )140 = 0 5 140 36 9800140. ? ? ?=176 （元 /件） 6．已知某廠生產(chǎn) q 件產(chǎn)品的成本為 C q q q( ) ? ? ?250 20 102（萬元）．問：要使平均成本最少，應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 6． 解 （ 1） 因為 Cq() =Cqq()= 250 2010q q? ? ?Cq( ) = ( )250 2010q q? ? ?=? ?250 1102q 令 ?Cq( ) =0，即 ? ? ?250 110 02q，得 q1 =50， q2 =50（舍去）， q1 =50 是 Cq() 在其定義域內(nèi)的唯一駐點． 所以， q1 =50 是 Cq() 的最小值點 ，即要使平均成本最少，應生產(chǎn) 50 件產(chǎn)品． 第二部分 積分學 一、單項選擇題 6 1．在切線斜率為 2x 的積分曲線族中，通過點（ 1, 4）的曲線為（ y = x2 + 3 ）． 2. 若 ? ?10 d)2( xkx= 2，則 k =（ 1）． 3．下列等式不成立的是（ )1d(dlnxxx ? ）． 4．若 cxxf x ??? ?? 2ed)( ，則 )(xf? =（ 2e41 x?? ） . 5. ??? )d(e xx （ cx xx ?? ?? ee ）． 6. 若 cxxf xx ???? 11 ede)( ，則 f (x) =（21x ）． 7. 若 )(xF 是 )(xf 的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是 ( )()(d)( aFxFxxfxa ???)． 8．下列定積分中積分值為 0 的是（ xxx d2ee11???? ） 9． 下列無窮積分中收斂的是 （ ? ??1 2 d1 xx）． 10．設 R? (q)=1004q ，若銷售量由 10 單位減少到 5 單位，則收入 R的改變量是（ 350 ）． 11．下列微分方程中，（ xxyyy e2 ??? ）是線性微分方程． 12．微分方程 0)()( 432 ??????? xyyyy 的階是（ 1） . 二、填空題 1． ?? ? xx ded 2 xxde 2? 2．函數(shù) xxf 2sin)( ? 的原函數(shù)是 21 cos2x + c (c 是任意常數(shù) ) 3．若 cxxxf ???? 2)1(d)( ，則 ?)(xf )1(2 ?x 4．若 cxFxxf ??? )(d)( ，則 xf xx )de(e ??? = cF x ?? ? )e( 5． ???e1 2 dx)1ln(dd xx0 6． ????11 22 d)1( xx x0 7． 無窮積分 ? ???0 2 d)1( 1 xx是 收斂的 （判別其 斂散性） 8．設邊際收入函數(shù)為 R? (q) = 2 + 3q，且 R (0) = 0，則平均收入函數(shù)為 2 + q23 ． 9. 0e)( 23 ????? ? yy x 是 2 階微分方程 . 10．微分方程 2xy?? 的通解是 cxy ?? 33 三、計算題 ⒈ 解 cxxxxx x ???? ?? 1c o s)1(d1s i nd1s i n2 2．解 cxx x xxx ??? ?? 22ln 2)(d22d2 3．解 cxxxxxxxxxx ??????? ?? s i nc osdc osc osds i n 7 4．解 ? ? xxx d1)ln( = ? ??? xxxxx d1)(21ln1)(21 22 = cxxxxx ????4)l n2(21 22 5．解 xxx d)e1(e3ln0 2? ?=? ??3ln0 2 )ed(1)e1( xx= 3ln03)e1(31 x?=356 6．解 )(l nd2ln2)2(dlndln e1e1e1e1 xxxxxxxxx ??? ??? e1e1 4e2d2e2 xxx ???? ? e24d2e2 e1 ???? ? xx 7．解 xxx dln1 12e1? ?= )lnd(1ln1 12e1 xx ???= 2e1ln12 x?= )13(2 ? 8．解 xxx d2cos20?? = 202sin21 ?xx xxd2sin21 20?? = 202cos41 ?x = 21? 9．解法一 xx xxxxx d1)1l n(d)1l n( 1e01e01e0 ????? ????? = xx d)111(1e 1e0?? ???? = 1e0)]1ln([1e ????? xx ＝ eln =1 解法二 令 1??xu ，則 uuuuuuuxx d1lndlnd)1l n( e1e1e11e0 ??? ????? = 11eee e1 ????? u 10．解 因為 xxP 1)( ? ， 1)( 2 ?? xxQ 用公式 ]d1)e([e d12d1 cxxy xxxx ????? ?? ]d1)e([e ln2ln cxx xx ??? ?? xcxxcxxx ?????? 24]24[1 324 由 4712141)1( 3 ???? cy ， 得 1?c 所以，特解為 xxxy 1243 ??? 11．解 將方程分離變量： xyy xy dede 32 ??? 等式兩端積分得 cxy ???? ? 3e31e21 2 將初始條件 3)1( ??y 代入，得 c???? ?? 33 e31e21 ， c = 3e61 ?? 所以，特解為： 33 ee2e3 2 ?? ?? xy 12．解：方程兩端乘以 x1 ，得 8 xxxyxy ln2 ??? 即 xxxy ln)( ?? 兩邊求積分，得 cxxxxx xxy ???? ?? 2ln)(l ndlndln 2 通解為： cxxxy ?? 2ln 2 由 11??xy，得 1?c 所以，滿足初始條件的特解為： xxxy ?? 2ln 2 13．解 將原方程分離變量 xxyy y dcotlnd ? 兩端積分得 lnlny = lnC sinx 通解為 y = eC sinx 14. 解 將原方程化為： xyxy ln11 ??? ，它是一階線性微分方程， xxP 1)( ?? ， xxQ ln1)( ? 用公式 ( ) d ( ) de [ ( ) e d ]P x x P x xy Q x x c? ????? ]deln1[e d1d1 cxx xxxx ???? ? ? ]deln1[e lnln cxx xx ?? ? ? ]dln1[ cxxxx ?? ? )ln(ln cxx ?? 15．解 在微分方程 yxy ??? 2 中， xxQxP 2)(,1)( ?? 由通解公式 )de2(e)de2(e dd cxxcxxy xxxx ?????? ?? ?? )e2e2(e)de2e2(e cxcxx xxxxxx ?????? ?? ? )e22( xcx ???? 16．解：因為 xxP 1)( ? ， xxQ sin)( ? ，由通解公式得 )des in(e d1d1 cxxy xxxx ???? ?? = )des in(e lnln cxx xx ??? = )dsin(1 cxxxx ?? = )sinc os(1 cxxxx ??? 四、應用題 1．投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為 36(萬元 )，且邊際成本為 )(xC? =2x + 40(萬元 /百臺 ). 試求產(chǎn)量由 4 百臺增至 6 百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達到最低 . 1．解 當產(chǎn)量由 4 百臺增至 6 百臺時，總成本的增量為 ? ??? 64 d)402( xxC= 642 )40( xx ?= 100（萬元） 9 又 x cxxCxC x? ??? 0 0d)()( =xxx 36402 ?? =xx 3640?? 令 0361)(2 ???? xxC， 解得 6?x . x = 6 是惟一的駐點，而該問題確實存在使平均成本達到最小的值 . 所以產(chǎn)量為 6 百臺時可使平均成本達到最小 . 2．已知某產(chǎn)品的邊際成本 C? (x)=2（元 /件），固定成本為 0，邊際收益 R? (x)=，問產(chǎn)量為多少時利潤最大？在最大利潤產(chǎn)量的基礎上再生產(chǎn) 50 件，利潤將會發(fā)生什么變化？ 2．解 因為邊際利潤 )()()( xCxRxL ????? = – 2 = 令 )(xL? = 0，得 x = 500 x = 500 是惟一駐點，而該問題確實 存在最大值 . 所以，當產(chǎn)量為 500 件時，利潤最大 . 當產(chǎn)量由 500 件增加至 550件時，利潤改變量為 5505002550500 )(d)( xxxxL ????? ? =500 525 = 25 （元） 即利潤將減少 25 元 . 3．生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 C? (x)=8x(萬元 /百臺 )，邊際收入為 R? (x)=1002x（萬元 /百臺），其中 x為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn) 2 百臺，利潤有什 么變化？ 3. 解 L? (x) =R? (x) C? (x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x 令 L? (x)=0, 得 x = 10（百臺） 又 x = 10 是 L(x)的唯一駐點，該問題確實存在最大值，故 x = 10 是 L(x)的最大值點，即當產(chǎn)量為 10（百臺）時，利潤最大 . 又 xxxxLL d)10100(d)( 12101210 ?? ???? 20)5100(12102 ???? xx 即從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn) 2 百臺，利潤將減少 20 萬元 . 4．已知某產(chǎn)品的邊際成本為 34)( ??? xxC (萬元 /百臺 )， x 為產(chǎn)量 (百臺 )，固定成本為 18(萬元 )，求最低平均成本 . 4．解：因為總成本函數(shù)為 ? ?? xxxC d)34()( = cxx ??32 2 當 x = 0 時， C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)= 1832 2 ?? xx