【正文】 ??????142136= ?????? ?? 14 12 (AB I ) = ?????????????? ?? 1210 01121014 0112 ??????????????? ????1210 21210112101102 所以 (AB)1= ????????12 2121 14 6．解 因為 BA= ?????? ? ?210 321 ???????????022011 =?????? ?? 24 35 (BA I )= ?????? ????????? ?? 1024 11111024 0135 ?????? ? ??? 5420 1111 ??????????? 25210 23101 所以 (BA)1=?????????? 252 231 7．解 因為 ?????? ?? 1043 0132 ??????? 1043 1111 ?????? ??? 2310 1111 ?????? ??? 2310 3401 即 ?????? ????????? ?? ? 23 3443 32 1 所以， X = ????????????? ?? 2123 34= ???????12 8．解：因為 ?????? 1053 0121 ?????? ??? 1310 0121 ?????? ??? 1310 2501 即 ?????? ????????? ? 13 2553 21 1 所以， X = 153 2102 11????????????? ? = ?????? ???????? ? 13 2502 11= ???????? 410 38 9．解 因為 ????????????????????????????4210222021011201212101baba ????????????????310011102101ba 所以當 1??a 且 3?b 時，方程組無解； 當 1??a 時，方程組有唯一解； 當 1??a 且 3?b 時，方程組有無窮多解 . 10．解 因為 ?????????????????????????????211011101201051223111201A 15 ?????????????300011101201 所以 r(A) = 2， r(A ) = 3. 又因為 r(A) ? r(A )，所以方程組無解 . 11．解 因為系數(shù)矩陣 ???????????????????????????????111011101201351223111201A?????????????000011101201 所以一般解為??? ?????432431 2 xxx xxx （其中 3x ， 4x 是自由未知量） 12．解 因為增廣矩陣 ???????????????????????????????1881809490312112614231213252A?????????????0000194019101 所以一般解為 ???????????1941913231xxxx （其中 3x 是自由未知量） 13．解 因為系數(shù)矩陣 A =???????????????????????????61011023183352231?? ??????????????500110101? 所以當 ? = 5 時，方程組有非零解 . 且一般解為 ??? ??3231 xx xx （其中 3x 是自由未知量） 14．解 因為增廣矩陣 ???????????????????????????26102610111115014121111??A ?????????? ????00026101501 所以當 ? =0 時，線性方程組有無窮多解，且一般解為： ??? ????? 26 153231 xx xx (x3 是自由未知量〕 15．解：當 ? =3 時， 2)()( ?? ArAr ，方程組有解 . 16 當 ? =3 時，??????????????????????????000000331010301000000331013611A 一般 解為??? ?? ??43231 33 31 xxx xx ， 其中 3x , 4x 為自由未知量 . 四、證明題 四、證明題 1．試證：設 A， B， AB 均為 n階對稱矩陣，則 AB =BA． 1．證 因為 AT = A， BT = B， (AB)T = AB 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 2．試證：設 A 是 n 階矩陣，若 3A = 0，則 21)( AAIAI ???? ? ． 2．證 因為 ))(( 2AAIAI ??? = 322 AAAAAI ????? = 3AI? = I 所以 21)( AAIAI ???? ? 3．已知矩陣 )(21 IBA ?? ，且 AA ?2 ，試證 B 是可逆矩陣，并求 1?B 3. 證 因為 )2(41)(41 222 IBBIBA ????? ，且 AA ?2 ，即 )(21)2(41 2 IBIBB ???? ， 得 IB?2 ，所以 B 是可逆矩陣，且 BB ??1 . 4. 設 n 階矩陣 A 滿足 A I2? ， TAA I? ，證明 A 是對稱矩陣 . 4. 證 因為 AIA? = TT IAAAA ? = TA 所以 A 是對稱矩陣 . 5．設 A， B 均 為 n 階對稱矩陣， 則 AB＋ BA 也是對稱矩陣． 5． 證 因為 BBAA ?? TT ， ，且 TTT )()()( BAABBAAB ??? TTTT BAAB ?? ABBA?? BAAB?? 所以 AB＋ BA 是對稱矩陣． 17 一、單項選擇題（每小題 3 分，共 15 分） 1．設 A 為 3x2矩陣， B 為 2x3 矩陣，則下列運算中（ AB ）可以進行 . 2．設 AB 為同階可逆矩陣 ，則下列等式成立的是（ TTT)( ABAB ? ） 3 設 BA, 為同階可逆方陣，則下列說法正確的是（ 111)( ??? ? ABAB ）． 4．設 AB 階方陣，在下列情況下能推出 A 是單位矩陣的是（ IA??1 D ）． 7．設下面矩陣 A, B, C 能進行乘法運算，那么（ AB = AC， A 可逆 ，則 B = C 成立 . 9．設，則 r(A) =（ 1 ）． 10．設線性方程組 bAX? 的增廣矩陣通過初等行變換化為，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為（ 1 ）． 11．線性方程組 ??? ?? ?? 0121 21 xxxx 解的情況是（無解）． 12．若線性方程組的增廣矩陣為 ??????? 012 21 ?A ，則當 ? ＝ (12 ）時線性方程組無解． 13． 線性方程組 AX?0 只有零解，則 AX b b? ?( )0（可能無解） . 14．設線性方程組 AX=b中， 若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，則該線性方程組（無解）． 下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ A ） . A. xxy sin? 下列函數(shù)在區(qū)間 ),( ???? 上是單調下降的是（ D ） . D. x?5 下列定積分計算正確的是（ D ） . D. ?? ???1 0sinxdx 設 A= ?????????? 600 321 540,則 r??A =（ C ）。 設線性方程組 bAX? 的增廣矩陣為 ?????????????? ????124220 6211062110 41231，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為（ B ） . 函數(shù) xxy ???? 41)2ln( 的定義域是（ A ） A.（ 2， 4） 解答： Axxxxx 即即 )4,2(424204 02 ???????? ??????? ?? ?? 曲線 11?? xy 在點（ 0， 1）處的切線斜率為（ A ） A. 21? 解答： 2321 )1(21)1( ?? ?????????? ??? xxy Ay 即21)10(21)0( 23 ?????? ? 若 )(xF 是 )(xf 的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是（ B ） . B. )()()( aFxFdxxfxa ??? 解答： ? ?? CxFdxxf )()(? ? ??? xa aFxFdxxf )()()( B即 設 A， B 為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ D ） . D. ? ? TTT ABAB ? 解答： DABAB TTT 即?)(? 設線性方程組 bAX? 有唯一解，則相應的齊次方程組 OAX? （ C ） . C. 只有零解 解答： )()()( 未知量的個數(shù)有唯一解 nArAr，bAX ????? 0??AX nAr ?)( 只有零解 即 C 各函數(shù)對中的兩個函數(shù)相等的是（ C ） . C. xxgxy ln3)(,ln 3 ?? 解答： ∵ xxy ln3ln 3 ?? ∴選 C 已知 1sin)( ?? xxxf ，當（ A ）時 )(xf 為無窮小量。 A. x?0 解答：∵ 0111lims inlim)1s in(lim 000 ?????? ??? xxx xxxx ∴選 A 下列函數(shù)中，（ B ）是 2sinxx 的原函數(shù) . 18 B. 2cos21 x? 解答： ∵ 2222 sin)()sin(21)c os21( xxxxx ???????? ∴選 B 設 A 為 nm? 矩陣， B 為 ts? 矩陣，且乘積矩陣 BACT 有意義 ,則 C 為（ B ）矩陣． B． mt? 解答： TjiC? mi? tj? mtij CC ?? ? ∴選 B 若線性方程組的增廣矩陣為 ?????? ??? 062 11 ?A ，則當 ? =（ B ）時線性方程組無解 . 解答： ?????? ??? 062 11 ?A ?? ?? ?21)2( ?????? ?? 031 11 ? ?? ?? )2)(1( ?????? ?? 11