高中數(shù)學北師大版選修2-2第3章1第1課時導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性課時作業(yè)-閱讀頁
2024-12-25 06:27本頁面
【正文】 集為 (－ ∞ ，－ 3)∪ (0， 3)． 三、解答題 7．設(shè) f(x)＝ a(x－ 5)2＋ 6lnx，其中 a∈ R，曲線 y＝ f(x)在點 (1， f(1))處的切線與 y軸相交于點 (0,6)． (1)確定 a的值； (2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間． [解析 ] (1)因 f(x)＝ a(x－ 5)2＋ 6lnx， 故 f ′( x)＝ 2a(x－ 5)＋ 6x. 令 x＝ 1，得 f(1)＝ 16a， f ′(1) ＝ 6－ 8a， 所以曲線 y＝ f(x)在點 (1， f(1))處的切線方程為 y－ 16a＝ (6－ 8a)(x－ 1)，由點 (0,6)在切線上可得 6－ 16a＝ 8a－ 6，故 a＝ 12. (2)由 (1)知， f(x)＝ 12(x－ 5)2＋ 6lnx(x0)， f ′( x)＝ x－ 5＋ 6x＝ x－ x－x . 令 f ′( x)＝ 0，解得 x1＝ 2， x2＝ 3. 當 0x2或 x3時， f ′( x)0，故 f(x)的增區(qū)間為 (0,2)， (3，＋ ∞) ；當 2x3時，f ′( x)0， 故 f(x)的減區(qū)間為 (2,3)． f(x)＝ x3－ ax－ 1. (1)若 f(x)在實數(shù)集 R 上單調(diào)遞 增，求實數(shù) a的取值范圍； (2)是否存在實數(shù) a，使 f(x)在 (－ 1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出 a的取值范圍；若不存在，說明理由； (3)證明： f(x)＝ x3－ ax－ 1的圖像不可能總在直線 y＝ a的上方． [解析 ] (1)由已知 f′( x)＝ 3x2－ a， ∵ f(x)在 (－ ∞ ，＋ ∞) 上是單調(diào)增函數(shù)， ∴ f′( x)＝ 3x2－ a≥0 在 (－ ∞ ，＋ ∞) 上恒成立， 即 a≤3 x2對 x∈ R 恒成立． ∵ 3x2≥0 ， ∴ 只需 a≤0 ， 又 a＝ 0時， f′( x)＝ 3x2≥0 ， f(x)＝ x3－ 1在 R上是增函數(shù)， ∴ a≤0. (2)由 f′( x)＝ 3x2－ a≤0 在 (－ 1,1)上恒成立， 得 a≥3 x2， x∈ (－ 1,1)恒成立． ∵ － 1x1， ∴ 3x23， ∴ 只需 a≥3. 當 a＝ 3時， f′( x)＝ 3(x2－ 1)， 在 x∈ (－ 1,1)上， f′( x)0， 即 f(x)在 (－ 1,1)上為減函數(shù)， ∴ a≥3. 故存在實數(shù) a≥3 ，使 f(x)在 (－ 1,1)上單調(diào)遞減． (3)證明： ∵ f(－ 1)＝ a－ 2a， ∴ f(x)的圖像不可能總在直線 y＝ a的上方．
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