正弦定理評(píng)課-閱讀頁(yè)
2024-10-03 14:26本頁(yè)面
【正文】 道上選 擇了A，B，C三點(diǎn)，使AB=BC=60m，在A，B，C三點(diǎn)ooo例1圖 DA 觀察塔的最高點(diǎn)，測(cè)得仰角分別為45，60，若測(cè)量 E，試求電視塔的高度(結(jié)果保留1位小數(shù)).F 教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫(huà)出示意圖如圖，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題。只要求出DE的長(zhǎng)。在例2圖 DACE中和DBCE中應(yīng)用余弦定理，: ．要重視研究性學(xué)習(xí)解三角形的內(nèi)容有較強(qiáng)的應(yīng)用性和研究性，可為學(xué)生提供豐富的研究性素材。可設(shè)計(jì)一些研究性、開(kāi)放性的問(wèn)題，讓學(xué)生自行探索解決。參考答案：這是一個(gè)如何下料的問(wèn)題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB平行。MOA=q，則：時(shí)，Smax=200．4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設(shè)208。OQM=90o+30o=120o，由正弦定理，得：sin120o又QMN=2OMsin(60oa)=40sin(60oa)，MQ=20sina=3sina． 3MP=20sinq,OP=20cosq，從而S=400sinqcosq=200sin2q．即當(dāng)q=p∴S=MQMN=sinasin(60oa)=cos(2a60o)cos60o． 33[]∴當(dāng)a=30o時(shí)，Smax=由于400． 3400平方厘米． 200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33也可以建議學(xué)生在課外自行尋找研究性、應(yīng)用性的題目去做，寫出研究或?qū)嶒?yàn)報(bào)告，在學(xué)校開(kāi)設(shè)的研究性學(xué)習(xí)課上進(jìn)行交流，評(píng)價(jià)。人民教育出版社。②《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)））》。2003年4月第一次印刷。嚴(yán)士健 張奠宙王尚志等主編。2004年4月。；（2）邊與角之間的關(guān)系：正弦定理：余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＋a2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC射影定理：a＝bcosC＋ccosBb＝ccosA＋acosC c＝acosB＋bcosA正弦定理的另三種表示形式：余弦定理的另一種表示形式：正弦定理的另一種推導(dǎo)方法——面積推導(dǎo)法在△ABC中，易證明再在上式各邊同時(shí)除以在此方法推導(dǎo)過(guò)程中，要注意對(duì)面積公式的應(yīng)用．例在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角． 分析：在正弦定理中，由進(jìn)而可以利用三角函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行解題． 解：可以把面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由公式∴C=30176。又sinA=cosB∴A＋B=90176。顯然A＋B=90176。時(shí)，由A＋B=150176。得A=120176。當(dāng)C=150176。得B為負(fù)值，不合題意故所求解為A=120176。C=30176。求A的值． 分析：把題中的邊的關(guān)系b=2a利用正弦定理化為角的關(guān)系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：∵B=A＋60176。)=sinAcos60176。=又∵b=2a∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA例在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析：三角形分類是按邊或角進(jìn)行的，所以判定三角形形狀時(shí)一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊之間關(guān)系或角之間關(guān)系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋bc（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進(jìn)而判定其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進(jìn)行探索．解法一：由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內(nèi)角，∴sinA≠0，sinB≠0．．∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問(wèn)題主要考查邊角互化、要么同時(shí)化邊為角，要么同時(shí)化角為邊，然后再找出它們之間的關(guān)系，注意解答問(wèn)題要周密、嚴(yán)謹(jǐn)．例若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析：本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解：解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A＋2B=180176。故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c故△ABC為等腰三角形或直角三角形．正弦定理，余弦定理與函數(shù)之間的相結(jié)合，注意運(yùn)用方程的思想．例如圖，設(shè)P是正方形ABCD的一點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別是1，2，3，求正方形的邊長(zhǎng)．分析：本題運(yùn)用方程的思想，列方程求未知數(shù)． 解：設(shè)邊長(zhǎng)為x(1設(shè)x=t，則1－5)=16t三、難點(diǎn)剖析已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，將出現(xiàn)無(wú)解、一解和兩解的情況，應(yīng)分情況予以討論．下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時(shí)解三角形的各種情況．（1）當(dāng)A為銳角時(shí)（如下圖），（2）當(dāng)A為直角或鈍角時(shí)（如下圖），也可利用正弦定理進(jìn)行討論．如果sinB1，則問(wèn)題無(wú)解； 如果sinB＝1，則問(wèn)題有一解；如果求出sinB用方程的思想理解和運(yùn)用余弦定理：當(dāng)?shù)仁絘2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數(shù)時(shí)，等式便成為方程．式中有四個(gè)量，知道任意三個(gè)，便可以解出另一個(gè)，運(yùn)用此式可以求a或b或c或cosA．向量方法證明三角形中的射影定理在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c．正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形；（2）已知兩邊和一邊的對(duì)角解三角形．余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形；（2）已知兩邊和夾角解三角形．三角形面積公式：例不解三角形，判斷三角形的個(gè)數(shù)． ①a＝5，b＝4，A＝120176。 ③a＝7，b＝14，A＝30176。 ⑤a＝6，b＝9，A＝45176。 解析：①ab，A＝120176。③a④a0 ∴△ABC有兩解．⑤bc，C＝45176。90176。這樣B＋C18017
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