傅立葉變換的由來-閱讀頁(yè)
2025-07-12 12:47本頁(yè)面
【正文】 個(gè)不同頻率，再多的頻率就超過了計(jì)算機(jī)所能所處理的精度范圍），如下圖：9個(gè)正弦信號(hào)： 9個(gè)余弦信號(hào)：把以上所有信號(hào)相加即可得到原始信號(hào)，至于是怎么分別變換出9種不同頻率信號(hào)的，我們先不急，先看看對(duì)于以上的變換結(jié)果，在程序中又是該怎么表示的，我們可以看看下面這個(gè)示例圖：上圖中左邊表示時(shí)域中的信號(hào)，右邊是頻域信號(hào)表示方法，從左向右表示正向轉(zhuǎn)換(Forward DFT)，從右向左表示逆向轉(zhuǎn)換(Inverse DFT)，用小寫x[]表示信號(hào)在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的幅度值數(shù)組, 用大寫X[]表示每種頻率的幅度值數(shù)組, 因?yàn)橛蠳/2+1種頻率，所以該數(shù)組長(zhǎng)度為N/2+1，X[]數(shù)組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X[]，另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X[]，Re是實(shí)數(shù)(Real)的意思，Im是虛數(shù)(Imagine)的意思，采用復(fù)數(shù)的表示方法把正余弦波組合起來進(jìn)行表示，但這里我們不考慮復(fù)數(shù)的其它作用，只記住是一種組合方法而已，目的是為了便于表達(dá)（在后面我們會(huì)知道，復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換長(zhǎng)度是N，而不是N/2+1）。有些信號(hào)在時(shí)域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。另外，F(xiàn)FT可以將一個(gè)信號(hào)的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。 現(xiàn)在就根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來說說FFT結(jié)果的具體物理意義。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號(hào)頻率的兩倍，這些我就不在此啰嗦了。N個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過FFT之后，就可以得到N個(gè)點(diǎn)的FFT結(jié)果。假設(shè)采樣頻率為Fs，信號(hào)頻率F，采樣點(diǎn)數(shù)為N。每一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn)。具體跟原始信號(hào)的幅度有什么關(guān)系呢？假設(shè)原始信號(hào)的峰值為A，那么FFT的結(jié)果的每個(gè)點(diǎn)（除了第一個(gè)點(diǎn)直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而每個(gè)點(diǎn)的相位呢，就是在該頻率下的信號(hào)的相位。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn=(n1)*Fs/N。1024Hz的采樣率采樣1024點(diǎn)，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT，則結(jié)果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT。頻率分辨率和采樣時(shí)間是倒數(shù)關(guān)系。根據(jù)以上的結(jié)果，就可以計(jì)算出n點(diǎn)（n≠1，且n=N/2）對(duì)應(yīng)的信號(hào)的表達(dá)式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。由于FFT結(jié)果的對(duì)稱性，通常我們只使用前半部分的結(jié)果，即小于采樣頻率一半的結(jié)果。假設(shè)我們有一個(gè)信號(hào)，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為30度、幅度為3V的交流信號(hào)，以及一個(gè)頻率為75Hz、相位為90度、。我們以256Hz的采樣率對(duì)這個(gè)信號(hào)進(jìn)行采樣，總共采樣256點(diǎn)。我們的信號(hào)有3個(gè)頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應(yīng)該分別在第1個(gè)點(diǎn)、第51個(gè)點(diǎn)、第76個(gè)點(diǎn)上出現(xiàn)峰值，其它各點(diǎn)應(yīng)該接近0。從圖中我們可以看到，在第1點(diǎn)、第51點(diǎn)、和第76點(diǎn)附近有比較大的值。接著，我們來計(jì)算各點(diǎn)的幅度值?？梢姡瑥念l譜分析出來的幅度是正確的。直流信號(hào)沒有相位可言，不用管它。再計(jì)算75Hz信號(hào)的相位，atan2(192, )=，換算成角度就是180*。根據(jù)FFT結(jié)果以及上面的分析計(jì)算，我們就可以寫出信號(hào)的表達(dá)式了，它就是我們開始提供的信號(hào)。相位的計(jì)算可用函數(shù)atan2(b,a)計(jì)算。要精確到xHz，則需要采樣長(zhǎng)度為1/x秒的信號(hào)，并做FFT。解決這個(gè)問題的方法有頻率細(xì)分法，比較簡(jiǎn)單的方法是采樣比較短時(shí)間的信號(hào)，然后在后面補(bǔ)充一定數(shù)量的0，使其長(zhǎng)度達(dá)到需要的點(diǎn)數(shù)，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。
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