【正文】 N?????則：如果：。 )10()()]([)(10????? ???NkWnxnxD F TkXNnnkN???308)(nnkWnx )70(432138288 ?????? kWWW kkk1043214321)0( 080808 ????????? WWWXjWWWX )233()21(4321)1( 382818 ????????jWWWX 224321)2( 684828 ???????jWWWX )233()21(4321)3( 986838 ????????243214321)4( 1288848 ?????????? WWWXjXX )233()21()3()5( * ?????jXX 22)2()6( * ????jXX )233()21()1()7( * ?????例：求序列： x(n) = ?(n)+2 ?(n1)+ 3?(n2)+4 ?(n3) 的 8點 DFT。 )20(1)()()( 251 ????? nnnxnRnx1 0 2 n x2(n) 1 3 2 1）補零 補到 6點 5 3 4 5 1 0 2 3 n x1(n) 1 4 1 1 1 1 0 2 3 m 4 5 )(~1 mx6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 ……… ……… 2)周期延拓 N=6 1 0 2 3 m x1(m) 1 4 5 1 0 2 m x2(m) 1 3 2 3 4 5 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 0 2 m 3 4 5 )(~2 mx6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 ……… ……… 2)周期延拓 N=6 1 0 2 m 3 4 1 3 2 5 )(~2 mx1 3 2 1 3 2 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 ……… ……… 1 0 2 m 3 4 1 3 2 5 )(~ 2 mx ?6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 ……… ……… 1 3 2 1 3 2 1 0 2 3 m 4 1 5 1 1 )(~1 mx6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 ……… ……… 3）翻褶，取主值序列 1 0 2 m 1 3 2 3 4 5 )()(~ 62 mRmx ?1 0 2 m 1 3 2 3 4 5 )()1(~ 62 mRmx ?y(0)=1*1+3*1=4 y(1)=2*1+1*1=3 1 0 2 3 m 1 4 5 )()(~ 61 mRmxy(2)=3*1+2*1+1*1=6 y(3)=3*1+2*1+1*1=6 y(4)=3*1+2*1+1*1=6 y(5)=3*1+2*1=5 4）圓周移位 5）相乘相加 的長度為 的長度為 )(1 nx )10( 11 ??? NnN)(2 nx )10( 22 ??? NnN? ???????????mNml mnxmxmnxmxny1021211)()()()()(五、 有限長序列的線性卷積與圓周卷積 它們線性卷積為 的非零區(qū)間為 的非零區(qū)間為 )(1 mx 10 1 ??? Nm)(2 mx 10 2 ???? Nmn)(1 nx1 0 1 2 n )(2 nx1 0 1 2 n 3 20 21 ???? NNn兩不等式相加得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 2 1 這也就是 不為零的區(qū)間 )(nyl x1(n)的長度為 N1, x2(n) 的長度為 N2 ,現(xiàn)構造長度均 為 L長的序列 , 即將 x1(n) 和 x2(n)補零點 。 由于 有 個非零值 ,所以周期 L必須滿足 : )(nyl 121 ?? NN121 ??? NNL)()()()(~)( nRrlnynRnyny LrlL ?????? ??? ?????)()()()( 2121 nxnxnxLnx ?? 1,21 ??? NNL 又由于圓周卷積是周期卷積的主值序列，所以圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列，即： 例：求下面兩序列的線性卷積和 4點、 5點、 6點、 7點圓周卷積 。 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n x(0) = 6+1=7 x(1) = 5+3=8 x(2) = 3+6=9 x(3) = 6 (3) 5點圓周卷積 主值區(qū)間： 0≤n≤4 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 將線性卷積的結果以 5為周期進行周期延拓后再取主值區(qū)間即獲得 5點圓周卷積結果。 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n x(0) = 3+1=4 x(1) = 3 x(2) = 6 x(3) = 6 x(4) = 6 x(5) = 5 (5) 7點圓周卷積 主值區(qū)間： 0≤n≤6 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 將線性卷積的結果以 7為周期進行周期延拓后再取主值區(qū)間即獲得 7點圓周卷積結果。這樣 ,對 X(Z)在單位圓上 N等份抽樣 ,就得到 對 進行反變換 ,并令其為 ,則 )(~ kX )(~ nx N101( ) [ ( ) ] ( )N nkNNkx n I DF S X k X k WN????? ?101 [ ( ) ]N m k n kNNkmx m W WN???? ? ? ?? ??1()01( ) [ ]N m n kNmkx m WN???? ? ? ?? ??()rx n r N?? ? ????1()0110Nm n kNkm n rNWmN?????????? 其 它r為任意整數(shù) 可見，由 得到的周期序列 是非周期序列 x(n)的周期延拓。 )(~ nxN)(~ kX所以： 時域抽樣 造成 頻域周期延拓 同樣， 頻域抽樣 造成 時域周期延拓 ? x(n)為無限長序列 — 混 疊失真 ? x(n)為有限長序列，長度為 M ? 1) N≥M ， 不失真 ? 2) NM， 混疊失真 NM?( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )N N Nx n R n ID F S X k R n x n??頻率采樣定理 若序列長度為 M， 則只有當頻域采樣點數(shù) : 時，才有 即可由頻域采樣 X(k)不失真地恢復原信號 x(n) ， 否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。 分別將 xk(n)補零延長到 L =M+ N 1， 并計算長為 L的 FFT， 得到 Xk(k) ??????kk nyny )()(重疊相加法的步驟如下： )()()( kHkXkY kk ?)]([)( kYIF F Tny kk ?計算 ，并求長為 L的反變換，即 將 yk(n)的重疊部分相加，最后得到結果為 重疊保留法 序列分段的方法： ???????????1,...,1)1(2,...,1,00)(0 LNnNnxNnnx??? ???????nLnNkLnxnxk 其它010)1()(重疊保留法 分段方法 示意圖 ?????0)()(kk kNnyny???????????1,1),1(39。 N 10( ) ( ) j n TnX j T x n T e ????? ?210()N j n kNnT x n e?? ??? ?002 F???3）頻域抽樣：一個周期分 N段，采樣間隔 ，時域周期延拓，周期為 0F001/TF?0N 100( ) ( ) j k n TnX j k T x n T e ????? ?[ ( )]T D F T x n??01( ) ( )2s j n Tx n T X j e d?? ?? ? ??010001 ()2Nj k n TkX j k e????? ? ? ??0100Nkdd?????? ? ?? ? ???21000()N j n kNkF X jk e??????21001 ()N j n kNskf X jk eN??????1N N??01 / [ ( )]T ID F T X jk? ? ?0k? ? ?002 / 2 /sT F f N??? ? ?對連續(xù)時間非周期信號的 DFT逼近過程 1）時域抽樣 2）時域截斷 3）頻域抽樣 0( ) [ ( ) ]X jk T D F T x n? ? ?01( ) [ ( ) ]x n I D F T X jkT??近似逼近： 00sTfNTF??2shff?時域抽樣：001/FT?頻域抽樣：頻率響應的混疊失真及參數(shù)的選擇 同時提高信號最高頻率和頻率分辨率，需增加采樣點數(shù) N。