【正文】 ? ?? ? ? ?)3)(2( ???? ??? 由于,3,2,00 ????? ???D故當0??且2??且3??時，方程組只有零解 . 第二章 矩陣 （一）矩陣的定義 1 ．矩陣的概念 由nm ?個數(shù)),2,1。,2,1( njmia ij ?? ??排成的一個 m 行 n 列的數(shù)表 ???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA?????212222111211 稱為一個 m 行 n 列矩陣或nm ?矩陣 當nm ?時，稱? ?nnijaA??為 n 階矩陣或 n 階方陣 元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用nmO ?或 O 表示 2 ． 3 個常用的特殊方陣： ① n 階對角矩陣是指形如 ???????????????nnaaaA?????0000002211的矩陣 ② n 階單位方陣是指形如 ???????????????100010001?????nE 的矩陣 ③ n 階三角矩陣是指形如 ????????????????????????????nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa??????????2122211122211211000,000的矩陣 3 ．矩陣與行列式的差異 矩陣僅是一個數(shù)表，而 n 階行列式的最后結果為一個數(shù)，因而矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，只有一階方陣是一個數(shù)，而且行列式記號“*”與矩陣記號“? ?*”也不同，不能用錯 . （二）矩陣的運算 1 ．矩陣的同型與相等 設有矩陣nmijaA ?? )(，??? kijbB )(，若km ?，??n，則說 A 與 B 是同型矩陣 . 若 A 與 B 同型 , 且對應元素相等，即ijij ba ?，則稱矩陣 A 與 B 相等，記為 BA ? 因而只有當兩個矩陣從型號到元素全一樣的矩陣，才能說相等 . 2 ．矩陣的加、減法 設nmijaA ?? )(，nmijbB ?? )(是兩個同型矩 陣則規(guī)定 nmijij baBA ???? )( nmijij baBA ???? )( 注意： 只有 A 與 B 為同型矩陣，它們才可以相加或相減 . 由于矩陣的相加體現(xiàn)為元素的相加，因而與普通數(shù)的加法運算有相同的運算律 . 3 ．數(shù)乘運算 設nmijaA ?? )(， k 為任一個數(shù)，則規(guī)定nmijkakA ?? )( 故數(shù) k 與矩陣 A 的乘積就是 A 中所有元素都乘以 k ，要注意數(shù) k 與行列式 D 的乘積，只是用 k乘行列式中 某 一行或某一列，這兩種數(shù)乘截然不同 . 矩陣的數(shù)乘運算具有普通數(shù)的乘法所具有的運算律 . 4 ．乘法運算 設kmijaA ?? )(，nkijbB ?? )(，則規(guī)定nmijcAB ?? )( 其中kjikjijiij bababac ???? ?2211 ),2,1。 當1??時，稱?為單位向量 . 對任意一個非零向量?都可以單位化：???1~?，這里?~必為單位向量 3 ．向量的正交 （ 1 ）設?? ,為兩個 n 維向量，若內(nèi)積0),( ???，則稱?與?正交，記為?? ? （ 2 ）如果一個向量組中不含零向量，且其中任意兩個向量都是正交的，即兩兩正交，則稱這個向量組為正交向量組 . （ 3 ）若 S 已知為一個正交向量組，且其中每個向量都是單位向量，則稱 S 為標準正交向量組 . （ 4 ）正交向量組必為 線性無關向量組，反之不一定 . （ 5 ）把線性無關向量正交化的方法（施密特正交化）：設321 , ???為線性無關向量組 . 令11 ?? ?， 1111222),(),(??????? ??， 222231111333),(),(),(),(???????????? ??? 則321 , ???為與321 , ???等價的正交向量組， 若再把每個i?單位化，則得到標準正交向量組 . 4 ．正交矩陣 如果 n 階實方陣 A 滿足 EAA T ? ，則稱 A 為正交矩陣 . 于是 A 為正交矩陣?1?? AA T ? EAAT ? ?*A 為正交矩陣 ?A 的列（行）向量組為標準正交向量組 . 當 A 為正交矩陣?1??A 當 A ， B 為正交矩陣?AB 為正交矩陣 . （四）實對稱矩陣的正交相似對角化 1 ． 實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質 設 A 為一個 n 階實對稱矩陣，則 A 的所有特征值全是實數(shù)，且屬于不同特征值的特征向量一定是正交的 . 2 ．實對稱矩陣的正交相似標準形 對于任意一個 n 階實對稱矩陣，一定存在 n 階正交矩陣 P ，使得 ?????????????????nTAPPAPP????111 其中對角矩陣 n 個對角元n??? , 21 ?就是 A 的 n 個特征值 . 例 3 求出???????????422242224A的正交相似標準形 解： A 的特征方程0)8()2(4222422242??????????????? ?????? AE A 的特征值為2,8 321 ??? ??? 可求出屬于單根81 ??的特征向量為???????????1111?， 求出屬于二重根232 ?? ??的線性無關特征向量為????????????????????????110,10132?? 把1?單位化，得???????????111311? 把32 , ??正交化、單位化，得????????????????????????12161,1012132?? 于是有正交矩陣???????????????????????61213162031612131P， 使得????????????2281APP 第六章 實二次型 （一） 實二次型的定義及其矩陣表示 n 元實二次型指的是含有 n 個未知量nxxx , 21 ?的實系數(shù)二次齊次多項式： ? ?? ??ninjjiijnxxaxxxf1 121),( ? 這里jiij aa ?，nji ,2,1, ??，則可把二次型寫成矩陣形式： AXXxxxf Tn ?),( 21 ?， 其中 ???????????????nxxxX?21，???????????????nnnnnnaaaaaaaaaA??????212221211211 A 為 n 階實對稱矩陣，它與二次型 f 一一對應，把 A 稱為二次型 f 的矩陣，稱 f 是以 A 為矩陣的二次型 . （二）實二次型的標準形 1 ． 矩陣合同的定義 設 A ， B 為兩個 n 階方陣，若存在一個可逆矩陣 P ，使 APPB T? ，則稱 A 與 B 合同記為 AB 請自考生弄清兩個方陣等價，兩個方陣相似及兩個方陣合同的差異點及關聯(lián)點 . 2 ． 實二次型的標準形 對于任意一個 n 元實二次型AXXf T?，一定存在可逆線性變換 YPX ? ，使得 2222211 nnTTyayayaYBYAXXf ?????? ?為二次型 f 的標準形 . 3 ．求二次型的標準形的方法 （ 1 ）配方法 （ 2 ）找正交變換化為標準形 設AXXf T?為 n 元實二次型，由于 A 為 n 階實對稱矩陣，由上章可知，存在 n 階正交矩陣 P ，使得 ??????????????????nAPP????211， 其中n??? , 21 ?為 A 的 n 個 特 征 值 ， 則 得 到 正 交 變 換 YPX ? ，使2222211 nnTTyyyYYAXXf ??? ??????? ?， 把這種標準形稱為 f 的相似標準形 . （三） 二次型的規(guī)范形 對任意一個 n 元二次型AXXf T?，一定可以經(jīng)過可逆線性變換化為規(guī)范形 . 221221 rkk zzzzf ?????? ? ?? 而且，其中的 k 和 r 由矩陣 A 唯一確定， k 為規(guī)范形中系數(shù)為 1 的項數(shù)， r 就是 A 的秩 . 稱 k 為f的正慣性指數(shù)，kr ?為負慣性指數(shù) rkkrk ???? 2)(稱為符號差 . （ 四 ） 正定二次型與正定矩陣 1 ． 正定二次型的定義 設AXXf T?為 n 元實二次型，如果對于任何非零實列向量 X ，都有0?AXX T，則稱f 為正定二次型，稱對稱矩陣 A 為正定矩陣 . 2 ． 正定二次型的判別方法 AXXf T?為 n 元正定二次型，即 A 為正定矩陣 . ? f的正慣性指數(shù)為 n ?A 合同于單位方陣，即存在可逆矩陣 P ，使得 PPA T? ?A 的 n 個順序主子式全大于零 ?A 的 n 個特征值全大于零 例 1 求 k 為何值時，二次型 322331222121321 2245),( xxkxxxxxxxxxxf ?????? 為正定二次型？ 解：f的矩陣為???????????????kA11112125 因為 A 的順序主子式為 051 ??D，0112252???D，2111121253??????? kkD， 所以f是正定二次型當且僅當2?k.