【正文】 0＜｜a＋b｜≤｜a｜+｜b｜，即：左邊≤：本題是運用了放大分母而縮小一個正分?jǐn)?shù)的技巧。證明：由遞推公式有：∴x100＞。誠然，要掌握放縮法必須掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。關(guān)鍵詞：不等式。技巧。amplification and minification。appropriate引 言在證明不等式的過程中,我們的基本解題思路就是將不等式的一邊通過若干次適當(dāng)?shù)暮愕茸冃位虿坏茸冃?放大或縮小),根據(jù)等式的傳遞性①和不等式的傳遞性②,不等式的證明最大特色就是在變形過程中它有“不等的”變形,即對原式進行了“放大”或“縮小”.而這種對不等式進行不等變形,從而使不等式按同一方向變換,方法靈活多變,應(yīng)當(dāng)注意以下兩點：?掌握放縮法的一些常用策略和技巧；?放縮法要放縮得恰到好處, 3 放縮法的常用技巧 增減放縮法 增加（減去）不等式中的一些正（負(fù)）項在不等式的證明中常常用增加（減去）一些正(負(fù))項,從而使不等式一邊的各項之和變大(小), 設(shè)a,b,c都是正數(shù),ab+bc+ca=1,求證：a+b+c179。3(ab+bc+ca)=333\a+b+c179。n+2(n=1,2,3,L),求證：11+a1+11+a2+11+a3+L+11+an163。2,\an+1179。2(1+an)0, \11+an+111163。21+a111，122163。11+a111+a1, 163。123，淺談用放縮法證明不等式 4 ??, 11+an163。12n121+an111+a1，1\11+a1+11+a2+11+a3+L+1+an111246。163。1++2+L+n1247。248。21=111+a11+32 增大（減?。┎坏仁揭贿叺牟糠猪椩诓坏仁降淖C明中,有時候增大或減小不等式一邊的所有項會造成放縮過度,因此, 求證證明：Q122+132+142+L+1n2179。N，*,n179。N).*證明：Q1(2k+1)219+125(2k+1)211=14k(k+1)=1230。231。(k179。kk+1248。230。230。1246。230。231。+231。+L+231。232。232。232。1246。1247。n+1248。R,ab(+), 均值不等式例5 若n206。(n+1)(2n+1)249。235。(n+1)(2n+1)249。2+2180。(n+1)n?均值不等式： a1a2Lan163。R+(i=1,2,Ln).淺談用放縮法證明不等式 6 求證:證明:Qn=n(n+1)2Sn(n+1)180。2+2180。(n+1) =32+52+L2n+12 n(n+1)2(n+1)22 又Sn=1180。3+L+n180。R,abn(n+1)2(+)a1+a+b1+bc1+[4] 若正數(shù)a,b,c滿足a+bc,求證：證明：Qa+bc,\a+bc0。lg2+lg4246。lg8246。lg9246。247。247。247。248。2248。2248。1,|cosx|163。[5] 已知a,b為整數(shù),并且a+b163。sin22a+： Qa0,b0,a+b163。1，\1sina2+41sin2b179。1cos(a+b)=sin2a+b2.(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號). 利用一般函數(shù)的性質(zhì) 求證a163。1f(n+1)f(n)==213n+2+13n+3+3n+41n+13(n+1)(3n+2)(3n+4)0.\f(n+1)f(n)，f(n)是增函數(shù),其最小值為f(1),f(n)min=f(1)=12+13+14=1312，淺談用放縮法證明不等式 8 故對一切自然數(shù),f(n)179。3,知2a5163。3時，1n+1+1n+2+L+xx+a213n+12a5, 設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=的充要條件是a1.,求證：對任意的x,y206。f(x)f(y)163。R，1a|f(x)f(y)|1219。1a1219。n1t+231。t1246。[,2],Tn是{an}的前n247。n項和230。247。231。:令f(t)=1230。231。,則: 2232。n230。+n+1247。t2232。 f162。(t)=0,得t= 9 1 當(dāng)2163。(t)0；當(dāng)1t163。(t)0。f231。,f(2)253。232。254。230。252。2n+即an163。1233。246。246。234。247。247。2234。2248。2248。235。n1233。1246。 =21+234。247。2235。2248。234。nn233。11230。n =2234。247。2234。2248。235。n230。 221231。2232。n1230。247。231。232。n 綜合法對于比較復(fù)雜的不等式證明,(1985年高考題)證明：Qn(n+1)179。N)n(n+1)2 12+23+Ln(n+1)179。1+232。1246。1) a+247。21(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明an179。2)；(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)x對x：(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明,略；(Ⅱ)用遞推公式及(Ⅰ)的結(jié)論有 an+1=231。230。246。a+163。231。an,(n179。2n+n2248。1 兩邊取對數(shù)并利用已知不等式得： lnan+1163。1+232。1n+n1n+n1n+n222+1246。+lnann2248。lnan+n \lnan+1lnan163。1)上式從1到n1求和可得： \lnan+1lnan163。2+12180。11246。247。23248。1246。1n247。2248。f(n),這里的163。、或.例15 已知n179。N,證明122+132+L+1n2163。n1n*例16 若Sn=1+12+13+L+1n,n206。12+13+L+1n,求證：n；(Ⅱ)Sn2(n+11)；(Ⅲ)Sn：(Ⅰ)Sn=1+1n12+13+L+1n1n 179。N).例18 求證(Ⅰ)+1!112!+L+證明：(Ⅰ)1n!=1n(n1)(n2)L2112n1122L21=(n179。4) +13!+12 則左邊1+23717 =n2412342!+1233+L+123n2 限制放縮的項和次數(shù)若對不等式中的每一項都進行放縮,很可能造成放得過大或縮得太小,若限制放縮淺談用放縮法證明不等式 14 的項,保留一些特定項不變,可以通過這樣來調(diào)整放縮的“度”,逼近欲證明的目標(biāo), 求證112+122+L+1n261361n(n179。N).*證明：這是一個常見問題的改編題,我們先給出一般算法： 112+122+L+1n2112+11180。3+L1(n1)n=2 由21n61361n ,顯然放得過大,要減少放大的項；先試試減少一項： 112+122+L+1n2112+122+12180。4+L1(n1)n=1+ = 由 11211246。11246。11246。1+231。+231。+L+231。4232。232。232。1n74741n：112+122+L+1n2+122+132+13180。N).*證明：(Ⅰ)略(Ⅱ)當(dāng)n為偶數(shù)時, 1a1+1a2+L1an230。247。+231。a2248。1432230。11246。231。+L+231。 ++231。231。aa4248。232。n16 =+434+43+L+43n1230。1231。22