基本不等式的證明教案-在線瀏覽
2024-10-27 19:03本頁面
【正文】 32222問題探究、講授新課提出問題：能否發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？通過比較，學(xué)生不難得出，兩數(shù)和的一半大于兩數(shù)積的算術(shù)平方根。ab。這樣由學(xué)生自主探索、2發(fā)現(xiàn)新知，可讓他們體會獲得成功的愉悅感。0，b179。同時講明取“＝”當(dāng)且僅當(dāng)?shù)暮x，接著可向?qū)W生講解算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念。展示完后，我便可提問，剛才我們是從圖中直觀地看出這個不等式是正確的，但我們數(shù)學(xué)是需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明，同學(xué)們可用哪些方法去證明呢？這便是本節(jié)課的第二個重點，也是難點。在學(xué)生的討論過程中，我也深入到學(xué)生中去，并做適當(dāng)?shù)狞c撥。同時向他們講明作差比較是我們高中階段證明不等式的重要方法之一。對于分析法，我估計學(xué)生可能會想到思路，會說出大致的證明過程，但對該方法的理解還是很模糊的，在這里，我首先向他們介紹這就是分析法，是我們證明不等式的另一個重要方法，接著講解該方法，即從結(jié)論出發(fā)，推到已知結(jié)論或恒等式或公理，最后由我在黑板上完成書寫，幫他們學(xué)會規(guī)范的書寫，即“要證，只要證”的形式要證ab163。a+b只要證0163。ab )2因為最后一個不等式成立，所以ab163。講完三種證明方法后，留一定時間給學(xué)生，讓他們自己去感悟一下三種方法的特點及書寫過程，加深他們的印象。R+)，在這里，我認(rèn)為比較兩個變量的大小，可引導(dǎo)學(xué)生利用我們上課一開始比較具體數(shù)大小的方法，代幾個具體的數(shù)去比較。而本題的證明可利用我們今天課上所講的三種方法，我打算讓兩位學(xué)生在黑板板演，以檢驗他們掌握情況與書寫格式是否合理。例一1．設(shè)a,b為正數(shù)，證明下列不等式成立：ba1+179。2 aba162．已知函數(shù)y=x+，x206。)，求此函數(shù)的最小值。ab（a179。0）2二、證明方法⑴作差法⑵分析法⑶綜合法三、探索 a+b比較163。ab(a、b∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)，并能應(yīng)用它們證明一些不等2式．(2)情感：通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運用綜合法進(jìn)行推理的能力．二、教學(xué)重難點重點：兩個基本不等式的掌握；難點：基本不等式的應(yīng)用。學(xué)生分析：學(xué)生在上新課之前都預(yù)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容，對上課內(nèi)容有一定的理解。四、教學(xué)過程（一）引入新課客觀世界中，有些不等式關(guān)系是永遠(yuǎn)成立的。對這些不等關(guān)系的證明，常常會歸結(jié)為一些基本不等式。（二）推導(dǎo)公式1．奠基如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0①把①左邊展開，得a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．②②式表明兩個實數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，也就是基本不等式1，對任何兩實數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？學(xué)生回答：a=b，因為a=b219。a1a2+a2a3+L+ana1④(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時取“=”號)．④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加．3．練習(xí)222求證：a+b+c+3≥2（a+b+c）4．基本不等式2直接應(yīng)用基本不等式1可以得到基本不等式2如果a、b、∈R，那么ab206。2ab 即a+b179。ab⑤2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)．這就是課本中基本不等式2 我們把a+b和ab分別叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而2ab=4180。4180。ab也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大于等于半弦，如下圖所2（三）例題已知x，y∈R，證明：+xy+179。yx已知a,b∈R，并且ab=4，求證：a+b179。22已知x，y∈R，并且x+y=1，求證：xy≤+1 4（其中一題作為練習(xí)）（四）應(yīng)用下面我們來解決開始上課時所提到的：在周長相等時，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。證明：設(shè)矩形的長和寬分別a，b(a，b為正數(shù)，且a≠b)，同樣周長的正方形的邊長為a+b，239。2a+b2)(ab)2，即S′，得（（五）作業(yè)練習(xí)冊P10/6第三篇：基本不等式與不等式基本證明課時九 基本不等式與不等式基本證明第一部分：基本不等式變形技巧的應(yīng)用基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應(yīng)用，利用基本不等式時，關(guān)鍵在對已知條件的靈活變形，使問題出現(xiàn)積（或和）為定值，以便解決問題，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。技巧二：巧變常數(shù)例已知0x點評：形如f(x)=x(1ax)或f(x)=x2(1ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數(shù)；二是巧提常數(shù)，應(yīng)用時要注意活用。5452121x1(x185。求函數(shù)y＝x（1－2x）的最大值。技巧四、活用常數(shù)例若x,y206。技巧五、統(tǒng)一形式+例已知a,b,c206。1a+b+1c)的最小值。含有根號的問題也要注意形式的統(tǒng)一（如求函數(shù)y=xx2(0x1)可變形為y=第二部分：均值定理證明不等式的方法技巧。2．利用“1”的代換型111+已知a
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