【正文】 積“ab”．通過實例理解ac與a＝c的關(guān)系，ab）c＝a（bb＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０．由上述定義可知，兩個向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個實數(shù)．說明：向量a與b的夾角θ是指把a，b起點平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當(dāng)θ＝時，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出（1）設(shè)e是單位向量，ab是非零向量，則a⊥b（3）ab＝0．.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a求ab＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝54cos120176。ｂ．（2）a在b上的投影．：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60176。．：從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運算律，這樣數(shù)量積運算才更富有意義．回憶實數(shù)的運算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運算律嗎？它們成立嗎？為什么？已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）aa（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．（2）（λa）b）＝ab＝（λa）b）； 當(dāng)λ＜0時，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）b）；當(dāng)λ＝0時，（λa）b＝0＝λ（ab＝λ（a（λb）＝λ（ac＝ac（乘法對加法的分配律）．證明：如圖402，任取一點O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝ ｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝cb，∴（a＋b）c＋bb）c＝a（bb＝cb＋b2，（a＋b）（a＋b）＝ ab＋bb＝ a2＋2a（a－b）＝ab＋bb＝ a2－b2． ∴有類似結(jié)論．｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60176。（a－3b）． 解：（a＋2b）b＋2b－6｜b｜＝－72．｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當(dāng)k為何值時，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）． 22因此，當(dāng)k＝177。b＋2ac＝1＋1＋2＋211cos90176。（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．＋21＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．，求六、拓展延伸＋b的幾何意義嗎？ 如圖403，ab＝c2，∴2｜a｜． 同理∠BOC＝∠AOC＝120176。．同理∠AOC＝∠BOC＝120176。＝問：O點在△ABC的什么位置？解：由同理⊥即＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．點 評這篇案例的一個突出特點是使用類比方法，即在研究向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運算律時，經(jīng)常以實數(shù)為對象進(jìn)行類比．以物理學(xué)中的力對物體做功的實例，引入數(shù)量積的過程比較自然，學(xué)生容易接受．在“拓展延伸”中，較多地展示了向量的綜合應(yīng)用．這都充分體現(xiàn)了向量是數(shù)形結(jié)合的重要載體．運用向量方法解決與向量有關(guān)的綜合問題，越來越成為考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個重要方面．認(rèn)識向量并會使用向量是這一部分的基礎(chǔ)，也是重點．總之，這篇案例較好地實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)，同時，關(guān)注類比方法的運用，以及學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高．美中不足的是，對學(xué)生的自主探究的引導(dǎo)似乎有所欠缺．第二篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇__4043平面向量平面向量的數(shù)量積教材分析兩個向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運算律及坐標(biāo)表示．向量的數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節(jié)內(nèi)容是整個向量部分的重要內(nèi)容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點是對平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和對平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會初步使用平面向量的數(shù)量積來處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．，初步體會知識發(fā)生、發(fā)展的過程和運用過程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣．任務(wù)分析兩個向量的數(shù)量積從形式和實質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個概念帶來了一些困難．在學(xué)習(xí)時，要充分讓學(xué)生理解、明白兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量．兩個向量的數(shù)量積的值是這兩個向量的模與兩個向量夾角余弦的乘積，其符號由夾角余弦值的正負(fù)而確定．兩向量的數(shù)量積“ab＝bb＝0與a＝0或b＝0的關(guān)系，以及（ac）與（ab）c＝a（bc）的不同．教學(xué)設(shè)計一、問題情景如圖401所示，一個力f作用于一個物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計算這個力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個夾角θ，真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力，這個分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計算．W＝｜s｜｜f｜cosθ．其中｜f｜cosθ就是f在物體前進(jìn)方向上的分量，也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量．問題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個向量來確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個向量的一種運算的結(jié)果呢？二、建立模型“功”的模型中得到如下概念：已知兩個非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜cosθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作ae＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）設(shè)aa＝｜a｜2，于是｜a｜＝ab｜≤｜a｜｜b｜（這與實數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120176。b． 解：a＝－10． ［練習(xí)］｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）a求四、建立向量數(shù)量積的運算律b＝bb＝λ（a（λb）（數(shù)乘結(jié)合律）． 證明：設(shè)a，b夾角為θ，當(dāng)λ＞0時，λa與b的夾角為θ，∴（λa）｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（ab＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（ab＝0b）． 總之，（λa）b）； 同理ab）．（3）（a＋b）c＋ba＋cc＝ac．思考：（1）向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律，即（ac）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果ab，那么a＝c嗎？五、應(yīng)用與深化 ［例 題］，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類似地，對任意向量a，b，也有類似結(jié)論嗎？為什么？解：類比完全平方和公式與平方差公式，有（a＋b）2＝a2＋2a（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）a＋aa＋bb＋b2，22（a＋b）a－aa－b求（a＋2b）（a－3b）＝ a2－3aa－6b2＝｜a｜－｜a｜｜b｜cos60176。（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k216＝0，k＝177。時，有（a＋kb）⊥（a－kb）．：正方形ABCD的邊長為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ac＋2b＋21［練習(xí)］1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）＋．，b的夾角為銳角時，你能說明ab，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．，如圖404，＝－＝＋，．試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系．，b，c有相同終點且a＋b＋c＝0，問：它們的起點連成怎樣的三角形？解法1：如圖405，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120176。故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．解法2：如圖406，．＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．又｜｜＝1，∴∠AOB＝120176。…△ABC中，＝＝⊥（－）＝0，即β的三角函數(shù)？為了解決這類問題，本節(jié)首先來探索α－β的余弦與α，β的函數(shù)關(guān)系式．更一般地說，對于任意角α，β，能不能用α，β的三角函數(shù)值把α＋β或α－β的三角函數(shù)值表示出來呢？二、建立模型 究（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引導(dǎo)學(xué)生通過特例否定這一猜想．例如，α＝60176?？梢园l(fā)現(xiàn)，左邊＝cos（60176。）＝cos30176。＝－，右邊＝cos60176。及cos105176。角分成45176。的差或者分解成60176。的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解．對于cos105176。＝cos（60176。）．＝的值．，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）分析：觀察公式Cα＋β與本題已知條件應(yīng)先計算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，并注意α，β的取值范圍來求解．［練習(xí)］1.（1）求sin75176。cos105176。sin105176。－sin215176。為cos15176。．對于（3），可以把A＋B角看成一個整體，去替換Cαβ中的α角，用B角替換β角．2.（1）求證：cos（－α）＝sinα．（2）已知sinθ＝，且θ為第二象限角，求cos（θ－）的值．（3）已知sin（30176。＜α＜150176。＋α）－30176。＋α）cos（α－54176。＋α）sin（α－54176。＋α與α－54176。＝｜｜｜｜cos（α－β）＝cos（α－β）．由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有＝cosθ＝cos（α－β）；若θ∈［π，2π］，則2π－θ∈［0，π］，且 角．已知電線桿的高度為5m，問：至少要準(zhǔn)備多長的鋼絲繩？設(shè)電線桿與地面接觸點為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點為A． 在Rt△AOB中，如果能求出sin75176。角可表示成兩個特殊角45176。的和，那么sin75176。＋α）－30176。＋α）．，C＝π－（A＋B），再由誘導(dǎo)公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即轉(zhuǎn)化為求－cos（A＋B）．，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β還應(yīng)求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此題時，先把α＋β與α－β看成單角，然后把2β用這兩個單角來表示．，引導(dǎo)學(xué)生分三步進(jìn)行：（1）求出α＋β角的某個三角函數(shù)值．（2）確定角的范圍．（3）確定角的值．其中，求α＋β的某個三角函數(shù)值時，應(yīng)分清是求cos（α－β）還是求sin（α－β）．已知向量的坐標(biāo)． ＝（3，4），若將其繞原點旋轉(zhuǎn)45176。）＝5（cosαcos45176。）＝－，y′＝5sin（α＋45176。＋cosαsin45176。－135176。），I2＝10sin（ωt＋30176。），I3＝10sin（ωt＋60176。AB與水平的夾角為6176?！螧＝176。sinC，AD＝ABsinC＝AB－A）．根據(jù)誘導(dǎo)公式，知sin（180176。20′，求BC的長． 組織學(xué)生討論：能用什么方法求出BC？（學(xué)生有可能有多種不同的解法）教師明晰：如果已知三角形的兩邊和夾角，這個三角形為確定的三角形，那么怎樣去計算它的第三邊呢？由于涉及邊長及夾角的問題，故可以考慮用平面向量的數(shù)量積．（也可用兩點間的距離公式）如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，則c＝a－b．∵｜c｜2＝c（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c＝ａ＋b－