【正文】 sα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ． （1）如何把α，β，α－β角的三角函數(shù)值之間建立起關(guān)系？要獲得相應(yīng)的表達(dá)式需要哪些已學(xué)過(guò)的知識(shí)？（2）由三角函數(shù)線的定義可知，這些角的三角函數(shù)值都與單位圓中的某些有向線段有關(guān)系，那么，這些有向線段之間是否有關(guān)系呢？通過(guò)學(xué)生的討論，教師引導(dǎo)學(xué)生作出以下推理：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，那么，OM即為α－β角的余弦線，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線段來(lái)表示OM．過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OP1，垂足為A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，再過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝ cosβcosα＋sinβsinα． ，組織學(xué)生討論（1）當(dāng)α，β，α－β為任意角時(shí)，上述推導(dǎo)過(guò)程還能成立嗎？若要說(shuō)明此結(jié)果是否對(duì)任意角α，β都成立，還要做不少推廣工作，可引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考．事實(shí)上，根據(jù)誘導(dǎo)公式，總可以把α，β的三角函數(shù)化為（0，）內(nèi)的三角函數(shù)，再根據(jù)cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化為銳角的余弦．因此，三、解釋應(yīng)用［例 題］176。＝－cos30176。－30176。β＝30176。＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．兩角和與差的余弦教材分析這節(jié)內(nèi)容是在掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角和與差的三角函數(shù)．這些內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)、電功學(xué)、力學(xué)、機(jī)械設(shè)計(jì)與制造等方面有著廣泛的應(yīng)用，因此要求學(xué)生切實(shí)學(xué)好，并能熟練的應(yīng)用，以便為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)． “兩角差的余弦公式”在教科書(shū)中采用了一種易于教學(xué)的推導(dǎo)方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出α，β，α－β均為銳角時(shí)成立．對(duì)于α，β為任意角的情況，教材運(yùn)用向量的知識(shí)進(jìn)行了探究．同時(shí)，補(bǔ)充了用向量的方法推導(dǎo)過(guò)程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性．這節(jié)課的重點(diǎn)是兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，難點(diǎn)是把公式中的α，β角推廣到任意角．教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)交流，探索，發(fā)現(xiàn)和獲得新知識(shí)的能力．，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和初步的應(yīng)用過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和勇于探索的科學(xué)精神．、求值和恒等式證明．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容以問(wèn)題情景中的問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，利用單位圓中的三角函數(shù)線和平面向量的數(shù)量積的概念推導(dǎo)出結(jié)論，并不斷補(bǔ)充推導(dǎo)過(guò)程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處．推導(dǎo)過(guò)程采用了從特殊到一般逐層遞進(jìn)的思維方法，學(xué)生易于接受．整個(gè)過(guò)程始終結(jié)合單位圓，以強(qiáng)調(diào)其直觀性．對(duì)于公式中的α和β角要強(qiáng)調(diào)其任意性．?dāng)?shù)學(xué)中要注意運(yùn)用啟發(fā)式，切忌把結(jié)果直接告訴學(xué)生，盡量讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考和探索，自己發(fā)現(xiàn)公式，使學(xué)生充分體會(huì)到成功的喜悅，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性，從而使其自覺(jué)主動(dòng)地學(xué)習(xí)．教學(xué)過(guò)程一、問(wèn)題情景我們已經(jīng)學(xué)過(guò)誘導(dǎo)公式，如可以這樣來(lái)認(rèn)識(shí)以上公式：把角α轉(zhuǎn)動(dòng)，則所得角α＋的正弦、余弦分別等于cosα和－sinα．把角α轉(zhuǎn)動(dòng)π，則所得角α＋π的正弦、余弦分別等于－sinα和－cosα． 由此，使我們想到一個(gè)一般性的問(wèn)題：如果把角α的終邊轉(zhuǎn)動(dòng)β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦來(lái)表示呢？ 出示一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：右圖411是架在小河邊的一座吊橋的示意圖．吊橋長(zhǎng)AB＝ａ（m），A是支點(diǎn)，在河的左岸．點(diǎn)C在河的右岸，地勢(shì)比A點(diǎn)高．AD表示水平線，∠DAC＝α，α為定值．∠CAB＝β，β隨吊橋的起降而變化．在吊橋起降的過(guò)程中，如何確定點(diǎn)B離開(kāi)水平線AD的高度BE？由圖可知BE＝asin（α＋β）．我們的問(wèn)題是：如何用α和β的三角函數(shù)來(lái)表示sin（α＋β）．如果α＋β為銳角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）嗎？引導(dǎo)學(xué)生分析：事實(shí)上，我們?cè)谘芯咳呛瘮?shù)的變形或計(jì)算時(shí)，經(jīng)常提出這樣的問(wèn)題：能否用α，β的三角函數(shù)去表示α177。即問(wèn)：O點(diǎn)在△ABC的什么位置？解：由同理⊥＝．同理∠AOC＝∠BOC＝120176。． 同理∠BOC＝∠AOC＝120176。b＝c2，∴2｜a｜b的幾何意義嗎？ 如圖403，a＋（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．＋21＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．，求六、拓展延伸c＝1＋1＋2＋211cos90176。b＋2a． 22因此，當(dāng)k＝177。－6｜b｜＝－72．｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當(dāng)k為何值時(shí)，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）b＋2b（a－3b）． 解：（a＋2b）b＝ a2－b2． ∴有類似結(jié)論．｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60176。b＋b（a－b）＝ab＝ a2＋2ab＋b（a＋b）＝ ab＋b2，（a＋b）b＝cb）c＝a（bc＋bb，∴（a＋b）c（乘法對(duì)加法的分配律）．證明：如圖402，任取一點(diǎn)O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2，∴｜c(diǎn)｜｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜c(diǎn)｜（｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2）＝ ｜c(diǎn)｜｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜c(diǎn)｜｜b｜c(diǎn)osθ2＝cc＝a（λb）＝λ（ab＝λ（ab＝0＝λ（ab）；當(dāng)λ＝0時(shí)，（λa）b）； 當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）b＝（λa）b）＝aa（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝右．（2）（λa）．：從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運(yùn)算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運(yùn)算律，這樣數(shù)量積運(yùn)算才更富有意義．回憶實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運(yùn)算律嗎？它們成立嗎？為什么？已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）aｂ．（2）a在b上的投影．：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60176。b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os〈a，b〉＝54cos120176。求ab＝0．.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜ab是非零向量，則a⊥b（3）ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜c(diǎn)osθ（｜b｜c(diǎn)osθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０．由上述定義可知，兩個(gè)向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)．說(shuō)明：向量a與b的夾角θ是指把a(bǔ)，b起點(diǎn)平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當(dāng)θ＝時(shí)，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見(jiàn)，a與b的夾角記作〈a，b〉． 根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出（1）設(shè)e是單位向量，ab）c＝a（bc與a＝c的關(guān)系，ab”不同于兩實(shí)數(shù)之積“ab”．通過(guò)實(shí)例理解a（－）＝0，即＝⊥＝…△ABC中，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．解法2：如圖406，．＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．又｜｜＝1，∴∠AOB＝120176。｜b｜c(diǎn)os∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120176。b，即以b在a上射影的長(zhǎng)和ａ的長(zhǎng)為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．，如圖404，＝－＝＋，．試說(shuō)明平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系．，b，c有相同終點(diǎn)且a＋b＋c＝0，問(wèn)：它們的起點(diǎn)連成怎樣的三角形？解法1：如圖405，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c(diǎn)｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a．，b的夾角為銳角時(shí)，你能說(shuō)明a＋＋21［練習(xí)］1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）c＋2b時(shí)，有（a＋kb）⊥（a－kb）．：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k216＝0，k＝177。a－6b2＝｜a｜－｜a｜｜b｜c(diǎn)os60176。（a－3b）＝ a2－3a求（a＋2b）a－ba－ab＋b2，22（a＋b）a＋ba＋a（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）b，那么a＝c嗎？五、應(yīng)用與深化 ［例 題］，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類似地，對(duì)任意向量a，b，也有類似結(jié)論嗎？為什么？解：類比完全平方和公式與平方差公式，有（a＋b）2＝a2＋2ac）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果ac．思考：（1）向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律，即（ac＝aa＋cc＋bb）．（3）（a＋b）b）； 同理ab）． 總之，（λa）b＝0b＝｜λa｜｜b｜c(diǎn)os（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（a｜b｜c(diǎn)osθ＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（a（λb）（數(shù)乘結(jié)合律）． 證明：設(shè)a，b夾角為θ，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與b的夾角為θ，∴（λa）b＝λ（ab＝b求四、建立向量數(shù)量積的運(yùn)算律＝－10． ［練習(xí)］｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）ab． 解：ab｜≤｜a｜｜b｜（這與實(shí)數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120176。a＝｜a｜2，于是｜a｜＝ae＝｜a｜c(diǎn)os〈a，e〉．（2）設(shè)ac）與（ab）c＝a（bc）的不同．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景如圖401所示，一個(gè)力f作用于一個(gè)物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計(jì)算這個(gè)力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個(gè)夾角θ，真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力，這個(gè)分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計(jì)算．W＝｜s｜｜f｜c(diǎn)osθ．其中｜f｜c(diǎn)osθ就是f在物體前進(jìn)方向上的分量，也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量．問(wèn)題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？二、建立模型“功”的模型中得到如下概念：已知兩個(gè)非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作ab＝0與a＝0或b＝0的關(guān)系，以及（ab＝b第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 40 平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積教材分析兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過(guò)的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示．向量的數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問(wèn)題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問(wèn)題．這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一，對(duì)它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對(duì)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)初步使用平面向量的數(shù)量積來(lái)處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件．，初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和運(yùn)用過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣．任務(wù)分析兩個(gè)向量的數(shù)量積從形式和實(shí)質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個(gè)概念帶來(lái)了一些困難．在學(xué)習(xí)時(shí)，要充分讓學(xué)生理解、明白兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量．兩個(gè)向量的數(shù)量積的值是這兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量夾角余弦的乘積，其符號(hào)由夾角余弦值的正負(fù)而確定．兩向量的數(shù)量積“ab”不同于兩實(shí)數(shù)之