【正文】 5 請注意， 0y? 的對應(yīng)于 xx?? ?；叵胍幌拢谝郧?，我們處理的 存在性和唯一線性系統(tǒng)解決方案，這個情況下 解 的存在性和唯一 性 。 我們現(xiàn)在準備推出 的各種穩(wěn)定的平衡點 x? ? ?2 2 1?? 的概念。如果 ? 會獨立選擇 0n 時，則他不是穩(wěn)定的。如果 0n 是選擇 ? 是獨立的。 （三） 漸近穩(wěn)定性，如果它是穩(wěn)定和漸近的，且均勻漸近穩(wěn)定，如果是均勻穩(wěn)定和均勻漸近 。? ? 00 0 0, nnx n n x x M x x ? ???? ? ?，當(dāng) 0xx?????, 0xx???? （五） 解 ? ?00,x nnx 是有界的，如果一 非負 的常數(shù) M， ? ?00,x n n x M?為所有 0nn? ，其中 M 可能取決于每個解 。在圖 22 中，我們 壓制 （時間） n 和只顯示運動的一個解，δ為球內(nèi)的半徑。會留在 ? 球內(nèi)。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 6 圖 22 在相空間中的穩(wěn)定平衡 圖 43 穩(wěn)定平衡 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 7 圖 24 一致漸近穩(wěn)定平衡點 圖 穩(wěn)定性概念層次 在圖 23 中， 表示時間 n 是一個三維坐標系統(tǒng)的一部分，并且提供了另一種視角的穩(wěn)定 。請注意，在 上面的定義中，一些穩(wěn)定點 意味著一個或多個。 重要說明：在一般情況下，圖 45 中的箭頭 不 可能逆轉(zhuǎn)。在本節(jié)中，將顯示的線性系統(tǒng) ? ? ? ? ? ?1x n A n x n?? ? ?2 2 3?? 其中， ??An 是一個 K K 矩陣 Z 上定義的一 致漸近穩(wěn)定性 意味著指數(shù)的穩(wěn)定性（ UAS? ES）。 定理 。 設(shè) ? ?00,x nn x 和 ? ?00,y n m x 對于 ? ?224?? 的兩 個 解 ， 0 0 0m n r??， 0 0r? 。 通 過 獨 特 的 方 案 解 決? ? ? ?0 0 0 0 0, , , ,y n m x x n r n x??。這樣就 確立了我們的結(jié)果。 下面的例子是對定義的說明。 2． 標 量 方程 ? ? ? ? ? ?1x n a n x n?? 的解是 ? ? ? ?010 0 0, ninx n n x a i x?????????? 因此， 可以得出以下結(jié)論： （一） 零解是穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng) ? ? ? ?01 0nin a i M n M??? ? ? 其中 M 是一個取決于 0n 的正的常數(shù)。 為了說明這一點，我們寫出 ? ? ? ?0 0 0,x n n x n x??的解，當(dāng) ? ? ? ?01 1niinn ???? ? ? ?。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 9 （二） 零解是一致穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng) ? ?01nina i M???? ? ?2 2 7?? 其中 M 是一個相對于 0n 獨立的正常數(shù)。 （三） 零 解是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng) ? ?01lim 0nn inai??? ??? ? ?2 2 8?? 這種情況清楚地認為，如果 ? ? 12iai i?? ? 。因此，零解是一致穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定（全局），但不是一致漸近穩(wěn)定。如果 ?? 1ai i? 這可能是成立的 。在實線上有一個連續(xù)映射 f 吸引不穩(wěn)定的固定點。 定理 。 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 非自治線性系統(tǒng) 在這一小節(jié)中，我們調(diào)查的線性非自治的穩(wěn)定性（隨時間變化）系統(tǒng)。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 10 如果 ??n? 是任何基本矩陣系統(tǒng) ? ?2 3 1?? 或 ? ?2 3 6?? ，然后記得 ? ? ? ? ? ?1,n m n m?? ? ? ?作為轉(zhuǎn)變矩陣。 定理 。然后它的解 是 （一） 穩(wěn)定 的 當(dāng)且僅當(dāng)存在一個正的常數(shù) M，使得 ? ?nM??當(dāng) 0 0nn?? ? ?232?? （二） 一致 穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個正的常數(shù) M，使得該 ? ?,n m M??當(dāng) 0n m n? ? ?? ? ?2 3 3?? （三） 漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng) ? ?lim 0n n?? ?? ? ?234?? （四） 一致漸近穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)存在正常數(shù) M 和 ? ?0,1?? ，使得： ? ?, nmn m M? ???當(dāng) 0n m n? ? ?? ? ?2 3 5?? 推論 。 （ ii）本零解是指數(shù)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)它是 一致 漸近穩(wěn)定的。 對于系統(tǒng) ? ?2 3 1?? ，每一個局部穩(wěn)定的零解意味著相應(yīng)的全局穩(wěn)定。 （ 2） 若 ? ?1 1ki ija n v?? ? ?，對于一些 0v? ， 1 jk??， 0nn? 那么零解是一致漸近穩(wěn)定的。 定理 。 （ ii） ? ?2 3 6?? 的零解是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng) ? ? 1A? ? 。因此，考慮矩陣 11 1221 22aaA aa??????? 其特征方程由下式給出 ? ? ? ?2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 0a a a a a a??? ? ? ? ? 或者 ? ?2 d e t 0trA A??? ? ? ? ?2 3 7?? 比較 ? ?2 3 7?? 與方程 2 120pp??? ? ? 其中 1p trA?? ， 2 detpA? ，我們可以 從 定理中知道條件 1210pp? ? ? ， 1210pp? ? ? ， 210p?? 是 ? ? ? ? ? ?1221y n p y n p y n M? ? ? ? ?和 ? ? ? ? ? ?122 1 0y n p y n p y n? ? ? ? ?的平衡點或者解是漸近穩(wěn)定的充分必要條件。 ? ? ? ?1x n Ax n?? 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 12 是漸近穩(wěn)定 的 。如果 A 是一 條雙曲線，則下列說法成立： （一） 如果 ??xn是 ? ?2 3 6?? 的解在 ? ?0 sxW? 中，然后對于每個 n 中， ? ? sx n W? 。此外 ? ?lim 0n xn??? ? 相空間分析 在本節(jié)中。 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 11 1 12 22 21 1 22 211x n a x n a x nx n a x n a x n? ? ?? ? ? 或者 ? ? ? ?1x n Ax n?? ? ?2 4 1?? 當(dāng) 11 1221 22aaA aa??????? 回想一下。如果 Ax x??? 或者 ? ? 0A I x???。則 0x?? 是 ? ?2 4 1?? 這個一系統(tǒng)的唯一平衡點。則有一系列的平衡點。在后者情況下我們把? ? ? ?y n x n x???代 到 ? ?2 4 1?? 得到系統(tǒng) ? ? ? ?1y n Ay n?? 則這是跟 ? ?2 4 1?? 是相同的系統(tǒng)。此后，我們將假設(shè)0x?? 是系統(tǒng) ? ?2 4 1?? 的唯一平衡點。則 J 具有下列的一種形式。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 13 10? ???????相同的特征值。 如果我們讓 ? ? ? ?1y n P x n?? 或 ? ? ? ?x n Py n? ? ?2 4 3?? 圖 28 121???? 漸近穩(wěn)定的節(jié)點 則系統(tǒng) ? ?2 4 1?? 就變成了 ? ? ? ?1y n Jy n?? ? ?244?? 如果 ? ? 00xx? 是系統(tǒng) ? ?2 4 1?? 的初始條件。所以我們就可以注意到系統(tǒng) ? ?2 4 1?? 和系統(tǒng) ? ?244?? 有相同的穩(wěn)定點性質(zhì)。 ( 1) ( , ( ))x n f n x n?? ? ?2 5 3?? 其中 :,kkf Z G R G R? ? ? ?，在平衡點 y? 處是連續(xù)可微的，現(xiàn)在我們用線性化方法描述一下系統(tǒng) ? ?2 5 3?? 。 果我們令 ? ? ? ?,fA n n xx ??? ?,那么我們就得到系統(tǒng) ? ?2 5 1?? 這個方程。這意味著當(dāng) 0?? 存在 0?? 使得 ? ?,y n y y?? 成立，這里 y ?? ，任意 n 屬于 Z? 。 ( 1) ( ( )),y n f y n?? ? ?2 5 5?? 可寫成 ( 1 ) ( ) (