【正文】 轉(zhuǎn)動中心 到 桿質(zhì)心 的距離， ； l2 為 二級 擺桿 轉(zhuǎn)動中心 到 桿質(zhì)心 的距離， ； θ 1 為 一級擺桿 與豎直方向的夾角； θ 2 為 二級擺桿 與豎直方向的夾角； F 為作用在 小車 上的外力 。由于小車及擺桿受力復(fù)雜，可以利用牛頓力學(xué)中的隔離方法，分別對直線二級倒立擺系統(tǒng)的小車、一級擺桿、二級擺桿進(jìn)行受力分析，從而得到力學(xué)方程。 由牛頓力學(xué)方程可得小車水平方向的動力學(xué)方程： 12F F Mx?? （ 11） 圖 12 直線二級倒立擺運(yùn)動分析圖 圖 13 小車受力分析圖 圖 14 一級擺桿受力分析圖 圖 15 二級擺桿受力分析圖 一級擺 桿的受力分析如圖 14， F21為二級擺桿對一級擺桿豎直方向的力， F22 為二級擺桿對一級擺桿水平方向的力，由牛頓第二定律和動量矩陣定理得一級擺桿動力學(xué)方程： 212 22 1 1 1 1 1 1 1 1 1c os si nF F m x m l m l? ? ? ?? ? ? ? （ 12） F F12 F11 N F12 F11 m1g F21 F22 X Y θ 1 F22 F21 m2g X Y θ 2 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 5 21 11 21 1 1 1 1 1 1 1 1si n c osm g F F m l m l? ? ? ?? ? ? ? （ 13） 11 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1() s in s in c o s c o sdJ F l F l F l Fdt ? ? ? ? ?? ? ? ? （ 14） 二 級擺桿的受力分析如圖 ， F21為一級擺桿對二級擺桿豎直方向的力， F22 為一級擺桿對二級擺桿水平方向的力，由牛頓第二定律和動量矩陣定理得二級擺桿動力學(xué)方程： 2222 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 22 c os c os 2 sin sinF m x m l m l m l m l? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 15） 22 21 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 22 sin sin 2 c os c osm g F m l m l m l m l? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 16） 22 2 1 2 2 2 2 2 2() s in c o sdJ F l F ldt ? ???? （ 17） 為了與控制理論的表達(dá)習(xí)慣相統(tǒng)一，用 u 表示 對小車的 的輸入力 F,動力學(xué)方程可寫成矩陣形式為： ? ?1 2 1 1 , 2 , 1 , 2 1 1 22212( , ) ( ) ( , , ) 1 , 2 , 3, TxxM F G u jqx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? （ 18） 其中： 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2221 , 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 222 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2( 2 ) c o s c o s( ) ( ) c o s 2 2 c o s( )c o s 2 c o s( )M m m m l m l m lM m l m l m l m l J m l lm l m l l m l J??? ? ? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ? ? ????? （ 19） 1 1 2 1 1 1 2 2 2 21 , 2 1 , 2 2 1 2 2 1 22 1 2 1 1 20 ( 2 ) sin sin( , ) 0 0 2 sin ( )0 2 sin ( ) 0m l m l m lF m l lm l l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ????????? （ 110） ? ?1 2 1 1 2 1 1 2 2 2( , , ) ( 2 ) sin sin TG u u m l m l g m l g? ? ? ??? （ 111）由于在實(shí)際的控制過程中， θ θ 2 的取值很小，所以通常我們可以認(rèn)為 : 1 2 1 20 , 0? ? ? ?? ? ? ? 12cos( ) 1???? 1 2 1 2si n( )? ? ? ?? ? ? （ 112） 12cos cos 1???? 1 1 2 2si n , si n? ? ? ??? 由式（ 18），（ 19），（ 110），（ 111），并帶入式（ 112）中的量，整理可得線性化內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 6 后的方程： 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2( ) ( 2 )M m m x m l m l m l u??? ? ? ? ? ? （ 113） 221 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 )m l m l x m l m l J m l l m l m l g? ? ?? ? ? ? ? ? ? （ 114） 22 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 22 ( )m l x m l l m l J m gl? ? ?? ? ? ? （ 115） 取狀態(tài)變量為 1 2 3 4 5 6 1 2 1 2( , , , , , ) ( , , , , , )TTX x x x x x x x x? ? ? ??? （ 116） 以各狀態(tài)變量為系統(tǒng)輸出，把直線二級倒立擺系統(tǒng)表示為狀態(tài)空間方程形式： X AX BUY CX DU? ??? ??? （ 117） 因?yàn)橐?、二級擺桿的轉(zhuǎn)動慣量很小 ，所以在計(jì)算時(shí)可以忽略不計(jì)，將參數(shù)帶入得到狀態(tài)空間方程的相關(guān)矩陣為： 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 510 209 0 0 00 109 .82 86 21. 303 1 0 0 00 36. 881 7 35. 867 1 0 0 0A???????????? 000B???????????????????? 1 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1C????????????? 000000D??????????????????? 直線二級倒立擺的定性分析 為了更好的控制系統(tǒng)，需要進(jìn)一步的了解系統(tǒng)的性質(zhì)，其中包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可觀測性和可控性等特性的分析。 [6] 利用 Matlab 的 eig 函數(shù) （程序見附錄一 ） 對 直線 二級倒立擺的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，得到系統(tǒng)的特征 根 為： (0 0 ) 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 7 由系統(tǒng)的特征根可知，系統(tǒng)具有正實(shí)部，所以是不穩(wěn)定的。 對于 直線 二級倒立擺線性系統(tǒng)，根據(jù)可控性判據(jù)，在 Matlab 中采用 ctrb 函數(shù) （程序見附錄二） 計(jì)算 可 得 25, , 6ran k B A B A B A B?? ??? 所以 直線二級倒立擺線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近是完全可 控 的 。 對于 直線 二級倒立擺線性系統(tǒng)，根據(jù)可 觀測 性判據(jù)，在 Matlab 中采用 obsv 函數(shù)（程序見附錄二） 計(jì)算 可 得 25, , 6Tra n k C CA CA CA?? ??? 所以 直線二級倒立擺線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近是完全可觀測的 。模糊控制技術(shù)作為智能控制的重要分支之一，它的最大特點(diǎn)是針對各類具有非線性、強(qiáng)耦合、不確定性、時(shí)變的多變量復(fù)雜系統(tǒng)，在各個(gè)控制領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用，并且取得了良好的控制效果。 其實(shí)質(zhì)是將相關(guān)領(lǐng)域的專家知識和熟練操作 人員的經(jīng)驗(yàn)，轉(zhuǎn)換成模糊化后的語言規(guī)則，通過模糊推理和模糊決策，實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜系統(tǒng)的控制。 一些由傳統(tǒng)的控制方法難以實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜控制，可以由一個(gè)熟練的操作人員憑著豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)得到滿意的控制結(jié)果。由于 人類的思維除了對于一些單純、易斷的問題能迅速作出確定的判斷與決策以外，多數(shù)情況下，只能做出極其粗略的綜合，與之相應(yīng)的語言表達(dá)也是曖昧的。 “數(shù)學(xué)”是人類對各種客觀現(xiàn)象的度量特征的認(rèn)識在某種概念上的反映。自然界和人類社會中的 諸 事萬物都具有各種特征或?qū)傩?， 其中 大多數(shù)客觀事物不具 有清晰性，有些事物的本質(zhì)屬性往往是多值的，甚至是模糊地，也就是難以確定它是否明確地符合某一個(gè)概念，這種多值性與模糊性概念的外延，可構(gòu)成“模糊集合”等。但是人的許多持征就不能嚴(yán)格地確定， 比如 在健康狀況一欄 中 只能填 “ 好、比較好、良、 ?” ，至 于 什么樣的身體 屬 于好，什么樣的屬于良 ， 很難確切地規(guī)定，實(shí)際上健康狀況是一個(gè)綜合性的定性的評估， 而 且常 帶 有個(gè)人的主觀判斷。即使是一些本來有嚴(yán)格定義的特征，為了從宏觀 上 把握事物的主要特征和 便 于處理，有時(shí)也更多地用模糊概念來描述 ， 比如按年齡將人分為 “ 年輕人、中年人、老年人 ” 等 。 模糊控制系統(tǒng) [8] 模糊 控制系統(tǒng)與常規(guī)自動控制系統(tǒng)間的不同之處是：它的組成核心是具有知識性和智能性的模糊控制器。 模糊控制系統(tǒng)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于自動控制工程、科學(xué)研究、信號處理、數(shù)據(jù)庫管理、信息重現(xiàn)、可視計(jì)算、數(shù)據(jù)分類與決策、生物醫(yī)電、心理學(xué)和其他領(lǐng)域。 （ 1）飛機(jī)或者宇宙飛船：飛行控制、發(fā)動機(jī)控制、電子設(shè)備的控制、故障診斷、導(dǎo)航和衛(wèi)星姿態(tài)控制。 （ 3）汽車業(yè)：剎車、傳動、車體懸架、發(fā)動機(jī)控制和安全監(jiān)視系統(tǒng)。 （ 5）電力工業(yè)：發(fā)電機(jī)組控制和輸配電系統(tǒng)的控制等。 （ 7）機(jī)器人學(xué)：位置控制、行走、抓起動作和路徑規(guī)劃等。 隸屬度函數(shù) 在模糊控制器設(shè)計(jì)和模糊控制理論的實(shí)際應(yīng)用中，確定被研究對象模糊特性的隸屬度函數(shù)是一個(gè)十分重要的問題。隸屬度函數(shù)的確定帶有一定的主觀性，它一般是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)進(jìn)行確定的，也可由專家、權(quán)威給出。隸屬度函數(shù)在模糊集合論中占有極其重要的地位 ，它 是模糊集合論的基礎(chǔ)，因而如何確定隸屬度函數(shù)就是一個(gè)關(guān)鍵問題。隸屬度函數(shù)定量的描述了一個(gè)模糊概念，同時(shí)也定義了一個(gè)模糊集合，并且是模糊集合唯一的定義手段。在相鄰隸屬度函數(shù)之間選擇適合的重疊能使模糊控制器對于模型參數(shù)變化時(shí)具有魯棒性。 （ 2）變量所取的隸屬度函數(shù)通常是對稱和平衡的。 隸屬度函數(shù)是模糊集合理論應(yīng)用于實(shí)際問題的基礎(chǔ)，在模糊邏輯控制中，當(dāng) 模糊規(guī)則確定后，模糊控制系統(tǒng)的性能在很大程度上取決于模糊變量的各個(gè)子集的隸屬度函數(shù)。 在模糊數(shù)學(xué)中，常把以實(shí)數(shù)域 R為論域的模糊集的隸屬 度 函數(shù)，稱為模糊分布，在模糊控制中應(yīng)用較多的模糊分布主要有三角分布、降半梯形分布、升半梯形分布、梯形分布、正態(tài)分布、降半正態(tài)分布、升半正態(tài)分布七種模糊分布。 控制系統(tǒng) 模糊控制系統(tǒng)是一種基于規(guī)則的知識型控制系統(tǒng)。規(guī)則的 if 部分作為“前提條件”，即表示當(dāng)前所觀測到的系統(tǒng)狀態(tài)，并包涵有這種狀態(tài)和期望狀態(tài)之間的偏差、偏差變化率和被控制量等 信息構(gòu)成一個(gè)模糊陳述語句；而 then 部分是作為“結(jié)論”，它指示系統(tǒng)應(yīng)該作什么樣的操作，才能減小或消除系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)和期望狀態(tài)之間的偏差，形成一個(gè)描述控制量的模糊命題?！敖Y(jié)論部”內(nèi)的結(jié)論是根據(jù)“前提部”的前提條件并經(jīng)模糊推理得到的，與系統(tǒng)論域、模糊化接口、隸屬度函數(shù)生成、推理算子的選擇有密切關(guān)系。 一個(gè)實(shí)際的模糊控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)時(shí)需要解 決三個(gè)問題：知識表示、推內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 11 理策略和知識獲取。 近似推理可看作 是根據(jù)一些不精確的條件推導(dǎo)出一個(gè)精確結(jié)論的過程，許多學(xué)者對模糊表示、近似推理進(jìn)行了大量的研究，在近似推理算法中，最廣泛使用的是關(guān)系矩陣模型，它基于 的合成推理規(guī)則，首次由 Mamdani 采用。 由此可見， 模糊控制是以 模糊集合論、模糊語言變量及模糊邏輯推理為基礎(chǔ)的一種計(jì)算機(jī)控制。 模糊控制系統(tǒng)由模糊控制器和控制對象組成， 如圖 21所示。 模糊控制器主要由四部分組成。 從本質(zhì)上講，應(yīng)該把模糊控制器看作運(yùn)行在閉環(huán)控制系統(tǒng)中的一個(gè)人工決策器。 模糊控制器的分類 隨著人們對模糊控制器的深入研究和廣泛應(yīng)用，模糊控制器從原