【正文】 矩陣應(yīng)用于標(biāo)準的映 協(xié)方差矩陣，應(yīng)用于構(gòu) Monte 射矩陣 Carlo 方法 7 第 2 章 GARCH 模型 Engle 在 1982 年首先提出了 ARCH 模型對方差進行建模， 1986 年 Bollerslev 將ARCH 模 型推廣，發(fā)展成廣義的 ARCH 模型，即 GARCH 模型。 GARCH (generalized autoregressive conditional heteroseedastieity)的含義是一般自回歸條件異方差。 GARCH 模型一般有兩個方程組成。由于 GARCH 模型是用來估計并預(yù)測波動性和相關(guān)性的，它更關(guān)注條件方差方程，所以將條件均值方程的形式取得非常簡單。于是擾動項 t? 就是回報的平均偏差，它表示非預(yù)期回報。 實際中，對 t? 的分布假設(shè)最常用的是正態(tài)分布和學(xué)生 t 分布。然而，對于高頻數(shù)據(jù)，正態(tài) GARCH 模型仍然不能充分地描述數(shù)據(jù)的尖峰厚尾性。 GARCH 類模型 [18,19] 中應(yīng)用 最廣泛的主要有 ARCH 、 GARCH 、方差無窮 GARCH 非對稱 GARCH 、指數(shù) GARCH 和因子 GARCH 等。隨后這一模型被不斷的用來研究金融市場的收益序列變化的問題，并且由于它自身的靈活性， ARCH 模型得到不斷地改進，成為一個龐大的 ARCH 模型族。 根據(jù) Engle 在 1982 年提出的定義，一個 p 階自回歸 AR（ p）形式的隨機變量 tx ， 8 可以表示成如下的形式： 0 1 1t t p t p tx x x? ? ? ???? ? ? ? ? （ ） 其中， t? 為獨立同分布的白噪聲過程，他滿足： ? ? ? ? 20,ttED? ? ???。 在（ ）式中，若固定變量 1tx? ， 2tx? ， ， tpx? 的值，則隨機變量的條件期望為： ? ?1 2 0 1 1, , ,t t t t p t p t pE x x x x x x? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? （ ） 無條件 期望 為 ? ? 011t pEx ???? ? ? ?， （ ） 根據(jù)以上有關(guān)性質(zhì)可以定義 ARCH 模型如下： 0 1 1t t p t p tx x x u? ? ???? ? ? ? ? （ ） 滿足 tu 獨立同分布， ? ? ? ? 2,t t tE u o D u ???。（ ）式被稱為均值方程，（ ）式被稱為 ARCH 方程。 另一種定義方式如下： ttt vhu ?? （ ） 滿足 tv 獨立同分布，且 ? ? ? ?220 1 10 , 1ttt t q t qE v D vh u u? ? ????????? ? ? ???， 9 ARCH 模型的估計 ARCH 模型不僅揭示了金融序列的條件異方差的特性，而且給出了計算金融序列的條件異方差的方法，根據(jù)對條件異方差的描述，我們可以采用極大似然法對模型進行估計， 從而有利于對這種條件異方差的金融序列進行更加準確的分析。 根據(jù)式定義，的概率密度函數(shù)為 ? ? ? ? 21, , e x p22 ttt t t tt yxf y x hh ??? ??????? ????，其中? ? ? ? 220 1 1 1t t t q t q t qh y x y x? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?， ? ?0 1 1, , , k? ? ? ? ? ?? ， ? ?01, , , q? ? ? ? ?? 回歸方程的對數(shù)似然函數(shù)是： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1211l o g ,2 l o gl o g1 1 1l o g2 2 2TtttTTttttt tf y xyxhhL ????????????????， 求 ? 的極大似然估計量就是求 ?? 使 ? ?logL? 在 ? =?? 出獲得極大值。由此可知，在檢驗是否服 10 從 ARCH 過程的檢驗中，零假設(shè)和被擇假設(shè)分別為： 011:: 0 ,1 qiHH i q??? ??? ? ? 檢驗 ARCH 可以使用 F、 LM、 LR、 W 統(tǒng)計量，本文只介紹 F 檢驗。 三、 用 2?tu 估計 2 個回歸式： tt vu ?? 02? ? （ ） tqtqtt vuuu ????? ?? 22 1102 ??? ??? ? （ ） 四、 構(gòu)造 F 統(tǒng)計量： ? ?? ? ? ?1,~1/ / ?????? qTqFqTSSE qSSESSEFuur （ ） 其中， rSSE ， uSSE 是殘差平方和。 若 F ? ?1, ??qTqF ，拒絕 1H ,即 tu 存在自回歸條件異方差。若序列有有限的四階距，則 ARCH（ 1）中的 21? 必須在區(qū)間 ?????? 31,0中，對于高階的 ARCH 模型約束會變得更加的復(fù)雜。 （三）、 ARCH 模型假定的正負 ―擾動 ‖對波動率有相同的影響，然而實際中價格對正負 ―擾動 ‖的反應(yīng)是不同 的， ARCH 模型給出的波動率比實際值要偏高。 GARCH 模型 GARCH 模型定義 11 Engle 首先提出了 ARCH 模型對方差進行建模， Bollerslev 將 ARCH 模型推廣，發(fā)展成廣義的 ARCH 模型，即 GARCH 模型，其目的也是描述金融數(shù)據(jù)中存在的異方差現(xiàn)象。自此以后，幾乎所有的 ARCH 模型新成果都是在 GARCH 模型基礎(chǔ)上得到的，在經(jīng)濟學(xué)的研究領(lǐng)域取得了突破。由于 GARCH 模型是用來估計波動性的，它更關(guān)注條件方差方程，所以將條件均值方程的形式取得很簡單。 GARCH 模型的定義如下： ttt uy ??? （ ） 滿足條件 ? ???????????????? ??2112021,0..~itpiiqiititttttudiieeu?????? （ ） 其中： ? ? ? ?piqiqp ii ,10,10,0,0 ?? ?????? ?? 。 當(dāng) p＝ 0 時， GARCH(p,q)過程就為 ARCH(q)過程，當(dāng) p＝ q＝ 0 時，｛ tu ｝為白噪聲過程。 下面簡單介紹一下兩個特殊的 GARCH 過程。 12 GARCH(1,1)是平穩(wěn)過程的充分必要條件是 1???? 。 對于 GARCH(1,1)過程存在 2m 階距的充分必要條件為： ? ? 1, 11011 ?????????? ??? mjjjmj ajmm ????? （ ） 其中， m 為正整數(shù)， 10?? ， ? ? mjia jij ,2,1,121 ???? ??，且｛ tu ｝的 2m 階距滿足遞推式： ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1110 110212 ,1, ?? ?? ??????? ???????? ?? ? mnnm mauEaauE mn nmntnmmt ?????? （ ） 二、 GARCH(1,1)－ t 過程 GARCH(1,1)－ t 過程為 ????????????212102~ttttttutuuy??????分布 ，其中 ? 表示收益的均值， 2t? 表示 tu 的條件方差， 0?? ，0?? 。 GARCH 模型的估計 與 ARCH 模型一樣， GARCH 模型一般也采用極大似然估計對參數(shù)進行估計。 GARCH 模型的檢驗 前文介紹了 ARCH 模型的檢驗，當(dāng)原假設(shè) 0H 是 ARCH(0)時，備擇假設(shè) 1H 有兩個：一個是 ARCH(r)，另一個是 GARCH(r， 0)。 同理原假設(shè) 0H 是 ARCH(q)時，備擇假設(shè) 1H 有兩個：一個是 ARCH(q＋ r)，另一個是 GARCH(r， q)，在實際的應(yīng)用中，對于 q 值很 大的 ARCH 模型一般使用 GARCH 模型。 GARCH（ 1， 1）模型雖然簡單，但是比移動平均模型具有更多的優(yōu)點，如何檢驗GARCH（ 1， 1）模型的有效性則是一個關(guān)鍵問題，這就需要對 GARCH 模型進行有效性的診斷。 其中 Q 統(tǒng)計量近似服從 2? 分布， T 為建模樣本數(shù)量， ??n? 為平方收益的 n 階自相關(guān)系數(shù)：? ???????? TttTntntttrrn141222 ?? ，進行診斷時，首先應(yīng)該將序列標(biāo)準化（收益除以 GARCH 模型估計的標(biāo)準差得到標(biāo)準化的收益），然后檢驗序列的自相關(guān)性，如果序列的自相關(guān)性消除了，則可以說明模型是有效的。 其它模型介紹 EGARCH 模型 EGARCH 模型是 Nelson 在 1991 年提出的，他改變了 GARCH 模型對非負參數(shù)的強約束性，因此， Nelson 在 EGARCH 模型中放松了對這些非參數(shù)的約束，其中 th 被表示成指數(shù)形式 ,對模型中的參數(shù)沒有任何約束 ,這是 EGARCH 模型的一大優(yōu)點，以其對數(shù)表示的條件方差為： 14 ? ? ? ? ? ?jtqi ijtpj jt vhh ???? ?? ??? 110 lnln ??? （ ） ? ?ttttttt huEhuvvg ??? ? （ ） 模型的杠桿效 應(yīng)是指數(shù)型的，因為模型的條件方差是自然對數(shù)形式。若 0?? 時 ,則說明杠桿效應(yīng)是顯著的，所以說 EGARCH模型可以很好的刻畫金融市場中的非對稱性。利好時 012 1 ??? tt du? ,其影響可用系數(shù) 1? 代表 ,利空時為 ???1 。 因子 GARCH（ Factor GARCH）模型 因子模型通過一個單一的 GARCH波動性，由市場因子的波動性的估計和預(yù)測來估計和預(yù)測個體資產(chǎn)的波動性。假設(shè) ti,? 為資產(chǎn) i 在 t 期的標(biāo)準差， tij,? 為在 t期資產(chǎn) i和資產(chǎn) j之間的協(xié)方差，可以得到下列方程組： tutMiti i ,2 ,22, ???? ?? （ ） tjtutMjitij ui ,2 ,2 , ????? ?? （ ） 這樣，通過對上面兩個線性回歸方程求解，可以得到因子靈敏度參數(shù)以及誤差方差和協(xié)方差的估計。假設(shè)模型旨在解釋一項金融資產(chǎn)的回報率，那么增加 th 的原因是每個投資者都期望資產(chǎn)回報率是與風(fēng)險度密切聯(lián)系的，而條件方差 th 代表了期望風(fēng)險的大小。 16 第 3 章 VaR 的計算 在了解了對數(shù)回報的分布特性，確定對數(shù)回報模型與波動性模型后，我們就可以根據(jù)它們計算 VaR 值。在計算 VaR 過程中，對于 GARCH 模型中的參數(shù)用 SAS 系統(tǒng)建模 方法 求出 ，進而計算絕對 VaR。 具體計算步驟如下。其中 z? 為標(biāo)準正態(tài)分布下置信度對應(yīng)的分位數(shù)， ? 為回報率的均值。 由 EXCEL 可分析出數(shù)據(jù)的基本特征如下表： 表 31 數(shù)據(jù)的基本特征 原始數(shù)據(jù) 收益率數(shù)據(jù) 上海 上海 均值 標(biāo)準差 峰度 偏度 模型建立與擬合 在 SAS 系統(tǒng)中建立 GARCH 模型，相關(guān)程序如下： data a。c:\39。 t=_n_。 17 model p=t/nlag=5 dwprob archtest。 output out=out p=pp。 run。 plot p*t=1 pp*t=2/overlay。 symbol2 c=black i=join v=none l=2。 其中 ， a 為收益率集。 模型最終擬合結(jié)果如下圖所示：