高中數(shù)學(xué)人教b版必修五第3章不等式word學(xué)案-在線瀏覽
2025-01-22 23:20本頁面
【正文】 集為 ??? ???x|1ax1 . 二、數(shù)形結(jié)合思想在線性規(guī)劃中的應(yīng)用 例 2 已知實(shí)數(shù) x， y 滿足????? x＋ y－ 3≥ 0，x－ y＋ 1≥ 0，x≤ 2， (1)若 z＝ 2x＋ y， 求 z 的最大值和最小值 ； (2)若 z＝ x2＋ y2， 求 z 的最大值和最小值 ； (3)若 z＝ yx， 求 z 的最大值和最小值 ． 分析 x2＋ y2表示點(diǎn) (x， y)與原點(diǎn) (0,0)的距離， yx表示點(diǎn) (x， y)與原點(diǎn) (0,0)連線的斜率 ． 解 不等式組 ????? x＋ y－ 3≥ 0x－ y＋ 1≥ 0x≤ 2表示的平面區(qū)域 如圖所示 ． 圖中陰影部分即為可行域 ． 由????? x＋ y－ 3＝ 0，x－ y＋ 1＝ 0， 得????? x＝ 1，y＝ 2， ∴ A(1,2)； 由????? x＝ 2，x＋ y－ 3＝ 0， 得 ????? x＝ 2，y＝ 1， ∴ B(2,1)； 由????? x＝ 2，x－ y＋ 1＝ 0， 得 ????? x＝ 2，y＝ 3， ∴ M(2,3)． (1)∵ z＝ 2x＋ y， ∴ y＝－ 2x＋ z， 當(dāng)直線 y＝－ 2x＋ z 經(jīng)過可行域內(nèi)點(diǎn) M(2,3)時(shí)，直線在 y 軸上的截距最大，此時(shí) z 也最大， zmax＝ 2 2＋ 3＝ 7. 當(dāng)直線 y＝－ 2x＋ z 經(jīng)過可行域內(nèi) 點(diǎn) A(1,2)時(shí)， 直線在 y 軸上的截距最小，此時(shí) z 也最小， zmin＝ 2 1＋ 2＝ 4. 所以 z 的最大值為 7，最小值為 4. (2)過原點(diǎn) (0,0)作直線 l 垂直直線 x＋ y－ 3＝ 0，垂足為 N， 則直線 l 的方程為 y＝ x， 由????? y＝ x，x＋ y－ 3＝ 0， 得 ??? x＝ 32，y＝ 32， ∴ N?? ??32， 32 ， 點(diǎn) N?? ??32， 32 在線段 AB 上，也在可行域內(nèi) ． 此時(shí)可行域內(nèi)點(diǎn) M 到原點(diǎn)的距離最大，點(diǎn) N 到原點(diǎn)的距離最小 ． 又 OM＝ 13， ON＝ 92， 即 92≤ x2＋ y2≤ 13.∴ 92≤ x2＋ y2≤ 13， 所以， z 的最大值為 13，最小值為 92. (3)∵ kOA＝ 2， kOB＝ 12， ∴ 12≤ yx≤ 2， 所以 z 的最大值為 2，最小值為 12. 三、分離參數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用 例 3 設(shè)函數(shù) f(x)＝ lg 1＋ 2x＋ 3x＋ ? ＋ ?n－ 1?x＋ nxan ， 其中 a∈ R， n∈ N*且 n≥ 2， 如果當(dāng) x∈ (－ ∞ ， 1]時(shí) ， f(x)有意義 ， 求 a 的取值范圍 ． 解 由題意知，當(dāng) x∈ (－ ∞ ， 1]時(shí)， 1＋ 2x＋ 3x＋ ? ＋ (n－ 1)x＋ nx2 x＋ a＋ 1＝ 0 有實(shí)數(shù)解 ， 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 ． 解 令 2x＝ t0，換元后轉(zhuǎn)化為一元二次方程在 (0，＋ ∞ )上有實(shí)數(shù)解 ． 求 a 的范圍，另外若將參數(shù) a 分離出來，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題，用均值不等式很容易求解 ．
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