高中數(shù)學(xué)人教b版必修五第3章不等式word學(xué)案(完整版)
【正文】 ∴ 不能用均值不等式，但我們可用函數(shù)單調(diào)性定義證明上述目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間 [,16]上是減函數(shù)，從而利用單調(diào)性求得最小值 ． 由 (1)知， y＝ φ(x)＝ 800?? ??x＋ 324x ＋ 16 000 (≤ x≤ 16)． 對任意 x x2∈ [,16]，設(shè) x1x2， 則 φ(x1)－ φ(x2)＝ 800?? ???x1－ x2?＋ 324?? ??1x1－ 1x2 ＝ 800?x1－ x2??x1x2－ 324?x1x20.∴ φ(x1)φ(x2)， 故 y＝ φ(x)在 [,16]上為減函數(shù) ． 從而有 φ(x)≥ φ(16)＝ 45 000， ∴ 當(dāng)污水池的長度為 16 m，寬為 m 時有最低總造價，最低總造價為 45 000 元 ． 五、放縮法在證明不等式中的應(yīng)用 例 7 已知 0a1， x2＋ y＝ 0， 求證 ： loga(ax＋ ay)≤ loga2＋ 18. 證明 ∵ 0a1， ∴ 左邊＝ loga(ax＋ ay)≤ loga(2 axay) ＝ loga2＋ logaax＋ y2 ＝ loga2＋ 12(x＋ y)＝ loga2＋ 12(x－ x2) ＝ loga2＋ 18－ 12?? ??x－ 12 2≤ loga2＋ 18＝右邊 ∴ loga(ax＋ ay)≤ loga2＋ 18. 六、比較法在證明不等式中的應(yīng)用 例 8 如果 a2＋ b2＋ c2＝ 1， a， b， c 是實數(shù) ， 試證 ：－ 12≤ ab＋ bc＋ ca≤ 1. 證明 先證： ab＋ bc＋ ca≤ 1 ∵ 1－ (ab＋ bc＋ ca)＝ (a2＋ b2＋ c2)－ (ab＋ bc＋ ca) ＝ 12[(a2＋ b2－ 2ab)＋ (b2＋ c2－ 2bc)＋ (c2＋ a2－ 2ca)] ＝ 12[(a－ b)2＋ (b－ c)2＋ (c－ a)2]≥ 0 ∴ 1≥ ab＋ bc＋ ca 即 ab＋ bc＋ ca≤ 1. 再證： ab＋ bc＋ ca≥ － 12. ∵ ab＋ bc＋ ca－ ?? ??－ 12 ＝ ab＋ bc＋ ca＋ 12 ＝ ab＋ bc＋ ca＋ a2＋ b2＋ c22 ＝12(a2＋ b2＋ c2＋ 2ab＋ 2bc＋ 2ca) ＝ 12(a＋ b＋ c)2≥ 0. ∴ ab＋ bc＋ ca≥ － － 12≤ ab＋ bc＋ ca 綜上所述，－ 12≤ ab＋ bc＋ ca≤ 1. 1． 靈活拆項求函數(shù)最值 例 1 求函數(shù) y＝ x2＋ 5x2＋ 4的最小值 ． 解 y＝ x2＋ 5x2＋ 4＝ x2＋ 4＋ 1x2＋ 4 ＝ x2＋ 4＋ 4x2＋ 4－ 3x2＋ 4. ∵ x2＋ 4＋ 4x2＋ 4≥ 2 4＝ 4. 當(dāng)且僅當(dāng) x2＋ 4＝ 4x2＋ 4，即 x＝ 0 時，取到最小值 4. 因為－ 3x2＋ 4≥ － 32 ， 當(dāng) x＝ 0 時，－ 3x2＋ 4取到最小值－ 32. 所以， ymin＝ 4－ 32＝ 52. 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 0 時取到這一最小值 ． 2． 分?jǐn)?shù)的小性質(zhì)有著大用途 例 2 求證 ： 122 x＋ a＋ 1＝ 0 有實數(shù)解 ， 求實數(shù) a 的取值范圍 ． 解 令 2x
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