04第四章分層抽樣-在線瀏覽
2025-03-24 07:10本頁(yè)面
【正文】 hnihihh yynsh ??? ??h第 層的樣本方差。在 中，每層都有精確的權(quán)數(shù) 。這種情況稱為 按比例分配的分層抽樣，各層的抽樣比相同。 ??? LhhhN? yyNY stst hh hhhh ?? pWPWPL Lst ? ???stystP? Y?Y ? 三、估計(jì)量的方差 ? １、總體均值估計(jì)量的方差 ? 對(duì)于一般的分層抽樣，由于各層的抽樣是相互獨(dú)立的，諸 也相互獨(dú)立，因此總體均值 估計(jì)量的方差是總體各層均值估計(jì)量方差的加權(quán)平均，即 式中 是第 h層總體均值估計(jì)量的方差。而總體方差又是由層內(nèi)方差與層間方差兩部分構(gòu)成的。 ? ２、總體總和估計(jì)量的方差 ? 有了總體均值估計(jì)量的方差，就可推導(dǎo)出總體總和估計(jì)量的方差： ? 對(duì)于分層隨機(jī)抽樣，則有： ??? Lstst YVNYVNYVhh2h2 )?()?()?( ?? ???? Lh h2hhhh2hh hh2h )(N1)?(nSnNSnfNYV Lst ? ３、總體比例估計(jì)量的方差 ? 估計(jì)總體比例，當(dāng) 充分大時(shí)，有： ? 對(duì)于分層隨機(jī)抽樣，則有： ? 四、方差的估計(jì)量 ? 按上述方法確定估計(jì)量的方差時(shí)，要求各層的總體方差應(yīng)事先已知，但實(shí)際工作中，各層的總體方差又常常是未知的，此時(shí)，一般可用對(duì)應(yīng)的各層樣本方差替代，以對(duì)估計(jì)量的方差作出估計(jì)。 ? 當(dāng)用樣本資料估計(jì)方差 時(shí)，可將 用 替代，則得： ? 是 的無(wú)偏估計(jì)。通?？紤]：?精度和費(fèi)用問(wèn)題。即如何分配才能使調(diào)查數(shù)據(jù)的處理工作更加簡(jiǎn)潔，也使估計(jì)量及其方差的確定形式更為簡(jiǎn)單明了？?各層的容量大小問(wèn)題。此時(shí) : ? 所以 ，因此 。由此所得到的樣本稱為是自加權(quán)的或等加權(quán)的。這樣的估計(jì)量也稱為自加權(quán)的。 ?? Lh2hh2 W SS 21)?( Sn fYV stprop ?? ? ?????? Lhhhh )1(1)1(1)?( PPnfPPWnfPVstprop ? ???Lhhhh )1(W)1( PPPP ? （二）最優(yōu)分配 ? １、一般情形 ? 在分層隨機(jī)抽樣中，在給定的費(fèi)用條件下，使估計(jì)量的方差達(dá)到最小，或在精度要求（常用方差表示）一定條件下，使總費(fèi)用最小的各層樣本量的分配稱為最優(yōu)分配。 ???? L1hhh0 C nCC0C ?根據(jù)前面的論述，在估計(jì)總體均值時(shí)，對(duì)給定的各層樣本 量 nh，估計(jì)量的方差為： ?? ?? 2hhh2h2h 1 SWNnSWV可見(jiàn)，第二項(xiàng)與樣本量無(wú)關(guān)。 kkbahh ? 222 )())((hh h hhh h baba ? ?? ?0,0 ?? hh ba ? 根據(jù)柯西 — 許瓦茲 (CauchySchwarz)不等式，有 其中等號(hào)只有在以下情形時(shí)才成立 (達(dá)到極小值 )： ( 為常數(shù) ),這意味著： ? 則 ? 因此 ? 所以使達(dá)到極小的最優(yōu)分配即為 ???? 2hhh )( CSWCVKSCnnSWnC ??hhhhhhhhhWK hhhh CSWKn ?? ??? hhhh CSWKnn ? hhh CSWnK ? 即 ? 可見(jiàn)，最優(yōu)分配的結(jié)果既考慮了總體各層的差異，也同時(shí)考慮了總體各層內(nèi)變異程度上的差異和各層內(nèi)平均調(diào)查費(fèi)用的差異。 hL1hhhhhhhCC????SWSWnnhL1hhhhhh CCSNSNn????（ 應(yīng)取整 ) hnhL1hhhhhhhCCn ???SWSWnhL1hhhhhh CCSNSN??? ? ２、特殊情形 —— 內(nèi)曼分配 ? 如果各層內(nèi)每個(gè)單元的平均抽樣費(fèi)用相等，也即 時(shí)，最優(yōu)分配簡(jiǎn)化為： ? 即 （ 應(yīng)取整 ) ? 在內(nèi)曼分配時(shí)，估計(jì)量所能達(dá)到的最小方差為： 0h CC ??????? L1hhhhhL1hhhhhhSNSNSWSWnn????L1hhhhhSWSWnnh??? L1hhhhhSNSNnhn ?? )()?( stoptstopt yVYV NSnS ????L1h2hhLh2hh W)W(NSnS 2Lh2hh )W(??? ? ３、某些層需要超過(guò) 100%抽樣時(shí)的修正 ? 若抽樣比 較大，而個(gè)別層的 也很大，則按最優(yōu)分配，一些層的 有可能超過(guò) (即 ＞ 1)。然后將剩下的其余的層可用的樣本量再按最優(yōu)分配法在其它各層間重新進(jìn)行分配。對(duì) 部分作內(nèi)曼分配： ? 此時(shí)，若所有的 （ h≥2) 則分配合理。否則再重復(fù)上述過(guò)程，直到所有的 為止。只有當(dāng)各層的 相差較大時(shí)，最優(yōu)分配比比例分配在精度上才有較大的得益。 222 111)( SNSnSnfyVstprop ????? ? ?? Lh22hh1)(1)( SNSWny stopt ?????? ? ?Lh2hh2 )(1 SWSn ? ???Lh2hh 0)(W1 SSn ?? )()( stoptstprop yVyVhShhS ? （三）多指標(biāo)時(shí)的分配 ? 一次抽樣調(diào)查中調(diào)查項(xiàng)目（指標(biāo)）可能不止一個(gè)。這時(shí)，最簡(jiǎn)單的方法是利用比例分配，因?yàn)椴粌H它簡(jiǎn)單方便，而且對(duì)各指標(biāo)大多能獲得較為滿意的結(jié)果。實(shí)質(zhì)上下列方法都是對(duì)不同指標(biāo)最優(yōu)分配的某種程度的折衷。把總的預(yù)期損失 L看作估計(jì)量的方差的線性函數(shù) ,則可進(jìn)一步經(jīng)過(guò)變換，推導(dǎo)出結(jié)論： hjn? ??? ???L1h 12h12hhkjjkjjnnnn??? L1hhhhhhhh)C(CAWAWnn???kjjj SaA12hh ? 討論：由于比例分配的樣本是自加權(quán)的，因此，其估計(jì)量及其方差的確定形式都較最優(yōu)分配時(shí)更為簡(jiǎn)便。然而，由于方差對(duì)于分配中發(fā)生的小的甚至是中等的變動(dòng)并不敏感，因此，基什 (L否則最優(yōu)分配多出的效益可能會(huì)被加權(quán)和特別細(xì)致工作的額外花費(fèi)所抵銷。若 的幾個(gè)值大致相等，就要用比例分配。③應(yīng)用最優(yōu)分配時(shí)，在實(shí)踐上要避免使抽樣比成為復(fù)雜的分?jǐn)?shù)。有時(shí)，只用兩個(gè)
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