【正文】 的特性是存在反饋環(huán)路，也即結(jié)構(gòu)上是遞歸型的。同一個傳遞函數(shù) ??Hz ，可以有各種不同的結(jié)構(gòu)形式，其中主要的基本結(jié)構(gòu) 形式有以下幾種 : 直接型 一個 N階 IIR 濾波器的傳遞函數(shù)可以表達為 1011()1NiiNiiazHzbz???????? 用差分方程可以表達為 01( ) ( ) ( )NNiiiiy n a x n i b y n i??? ? ? ??? 從這個差分方程表達式可以看出， ??yn 是由兩部分相加構(gòu)成： 第一部分 ? ?Nii0ax n i? ?? 是一個對輸入 ??xn 的 N 節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu)，每節(jié)延時基于 MATLAB 與 CCS 的 IIR 濾波器設(shè)計 IIR 濾波器的 MATLAB 輔助設(shè)計 4 抽頭后加權(quán)相加，也即是一個橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。 從圖中我們可以看到 ，直接型結(jié)構(gòu)需要 2N級延時單元。即? ? ? ? ? ?21H z H z H z? 其結(jié)構(gòu)如圖 23 所示。這樣延時單元可以節(jié)省一倍，即 N階濾波器只需要 N級延時單元。 級聯(lián)型 一個 N 階的傳遞函數(shù)也 可以用它的零、極點來表示，也即它的分子、分母都表??1Hz ??2Hz??1Hz? ?1yn ??yn??2yn??1Hz??yn??xn??xn??xn ??yn? ?yn 1?? ?y n N?1z?0a1aN1a?Na1z?1bN1b?Nb1z?? ?y n 2?2b1z?1z?1z?2a1z???2yn基于 MATLAB 與 CCS 的 IIR 濾波器設(shè)計 IIR 濾波器的 MATLAB 輔助設(shè)計 6 達為因子形式 M M1 1i ii 0 i 1NN 11ii i1i1az ( 1 c z )H ( z ) A( 1 d z )1 b z??? ?????????????? 由于 ??Hz的系數(shù) iia,b 都是實系數(shù)，因此零極點 iic,d 只有兩種情況：或者是實根，或者 是共軛復(fù)根。 再將每一對共軛因子合并起來構(gòu)成一個實系數(shù)的二階因子，則 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1212MM 1 1 2i 1 i 2 ii 1 i 1NN 1 1 2i 1 i 2 ii 1 i 11 g z 1 z zH z A1 p z 1 z z????? ? ???? ? ???? ? ??? ? ????? 如果把單實根因子也看作是二階因子的一個特例：即二次項系數(shù)等于零的二階因子，則整個函數(shù)可以完全分解成實系數(shù)二階因子的形式 12M 1 j 2 ji1 1 j 2 j1 z zH ( z ) A1 z z????????????? 這樣濾波器就可以用若干二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)起來構(gòu)成，這些二階網(wǎng)絡(luò)也成為濾波器的二階基本節(jié)。 ? ? ? ?M ii1H z A H z?? ? 整個結(jié)構(gòu)如圖 28所示。 ? ?N ii Ni 0 i0N ii i1 iii1az AH z A 1 d z1 b z???? ??? ? ? ??? ?? 對于其中的共軛復(fù)根部分，再將它們成對地合并為二階實系數(shù)的部分分式，則 ? ? ? ?? ? ? ?1LM iii0 1 11i 1 i 1iB 1 D zAH z A1 p z 1 d z 1 d z?? ? ? ????? ? ?? ????1LMi 0 i 1 i0 i 1 2i 1 i 1i 1 i 2 iAzA 1 p z 1 z z?????? ? ????? ? ?? ? ??? 其中， N L 2M?? 。 ? ?x n A ??yn11?11?21?21?1M?2M?1M?2M?1z?1z?1z?1z?? ?1Hz ? ?MHz基于 MATLAB 與 CCS 的 IIR 濾波器設(shè)計 IIR 濾波器的 MATLAB 輔助設(shè)計 8 當然也可以全部采用二階節(jié)的結(jié)構(gòu)，這時可將式 (65)中實根部分兩兩合并以形成二階分式。 直接 II 型：只需要 N 級延時單元，節(jié)省資源。共同的缺點是，系數(shù) ai 、 bi 對濾波器性能的控制關(guān)系不直接，調(diào)整不方便。因此一般來說，采用另兩種結(jié)構(gòu)將具有更 大的優(yōu)越性。 級聯(lián)結(jié)構(gòu)可以由許多不同的搭配方式，在實際工作中，由于運算字長效應(yīng)的影響，不同排列所得到的誤差和性能也不一樣。在運算誤差方面，并0A1A1p1z?? ?xn ??yn01?11?11?21?1z?1z?0M?1M?1M?2M?1z?1z?基于 MATLAB 與 CCS 的 IIR 濾波器設(shè)計 IIR 濾波器的 MATLAB 輔助設(shè)計 9 聯(lián)型各基本節(jié)的誤差互不影響，所以比級聯(lián)型總的說，誤差要稍小一些。 典 型的 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計 模擬濾 波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當成熟，且有一些典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯 (Butterworth)濾波器、切比雪夫 (Chebyshev)濾波器、橢圓 (Cauer)濾波器、貝塞爾 (Bessel)濾波器等，這些典型的濾波器各有特點。 (2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標使用濾波器階數(shù)選擇函數(shù)，確定最小階數(shù) N和固有頻率 Wn，根據(jù)選用的模擬低通濾波器的類型可分別用函數(shù) :buttord、 eheb1ord、chebZord、 ellipord 等 。 (4)運用固有頻率 Wn 把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換成模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，可分別用函數(shù) lpZlp、 lpZhp、 lpZbp、 lpZbs。 典型 低通 Chebyshevl 型數(shù)字濾波器的設(shè)計 設(shè)計中需要限定其通帶上限臨界頻率 wp，阻帶臨界濾波頻率 ws，在通帶內(nèi)的最大衰減 rP，阻帶內(nèi)的最小衰減 rs。 (例如設(shè)定各參數(shù) wp=30*2*pi。rp=。 創(chuàng)建 Chebyshevl 型濾波器原型 : [z， P， k]=eheblaP(N， rP): 表達形式從零極點增益形式轉(zhuǎn)換成 狀態(tài)方程形式 : [A， B， C， D]=zpZss(z， p， k): 把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器 : [At， Bt， Ct， Dt]=IPZIP(A， B， C， D， Wn): 基于 MATLAB 與 CCS 的 IIR 濾波器設(shè)計 IIR 濾波器的 MATLAB 輔助設(shè)計 10 表達形式從狀態(tài)方程形式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)形式 : [numl， denl]=ssZtf(At， Bt， Ct， Dt)。 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 91頻率 / H z幅值 [N， Wn]==cheb1ord(wp， ws， rp， rs，’ s’ ) 該函數(shù)返回模擬濾波器的最小階數(shù) N和 Chebyshevl 型固有頻率 Wn。如果 rp=3dB，則固有頻率 wn 等于通帶截止頻率 wp。這個濾波器有通帶內(nèi)的最大衰減為 rP。 [At， Bt， et。 [numZ， denZ 卜 impinvar(numl， denl， Fs) 該函數(shù)模擬濾波器傳遞函數(shù)形式 ［ numl， denl]轉(zhuǎn)換為采樣頻率為 Fs 的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)形式 [numZ， denZ]。 [H， W]=freqz(numZ， denZ， N) 該函數(shù)返回數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。 N最好選用 2 的整數(shù)次冪，這樣使用 FFT 進行快基于 MATLAB 與 CCS 的 IIR 濾波器設(shè)計 IIR 濾波器的 MATLAB 輔助設(shè)計 11 速運算。系統(tǒng)的 N默認值為 512。 設(shè)計 Butterworth 濾波器用函數(shù) butter()，可以設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬濾波器，其特性是通帶內(nèi)的幅度響應(yīng)最大限度的平滑，但損失了截止頻率處的下降斜度?？梢栽O(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬 ChebyshevI 型濾波器，其通帶內(nèi)為等波紋，阻帶內(nèi)為單調(diào)。 設(shè) 計 ehebyshevII 型濾波器用函數(shù) eheby2()。ChebyshevII 型濾波器的下降斜度比 I型小，但其阻帶內(nèi)波紋較大。與 Butterworth 和 chebyshev 濾波器相比，ellip 函數(shù)可以得到下降斜度更大的濾波器，得 通帶和阻帶均為等波紋。 幾種類型 的 低通濾波器設(shè)計 : 設(shè) Wp=30Hz， Ws=35Hz， Fs=100， Rp=， Rs=40dB分別用巴特沃斯 (Butterworth)濾波器、切比雪夫 (ehebyshev)濾波器、橢圓 (Cauer)濾波器，程序設(shè)計如下 : 巴特沃斯低通濾波器 : [nl， Wnl]=buttord(wP/(Fs/2)， ws/(Fs/2)， rP， rs，’ z’ )； [numl， denl]=butter(nl， Wnl)；