導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)(理)-在線瀏覽
2024-11-05 17:25本頁面
【正文】 2ax4. (2)由 f?(1)=0 得 , a= . 1 2 ∴ f?(x)=3x2x4. 由 f?(x)=0 得 , x=1 或 . 4 3 ∵ f(2)=0, f(1)= , f( )= , f(2)=0, 9 2 4 3 27 50 ∴ f(x) 在 [2, 2] 上的最大值為 , 最小值為 . 9 2 27 50 (3)∵ f?(x) 的圖象為開口向上的拋物線且過點(diǎn) (0, 4), ∴ 由題設(shè)得 f?(2)≥ 0 且 f?(2)≥ 0 . ∴ 8+4a≥ 0 且 84a≥ 0. ∴ 2≤ a≤ 2. 故 a 的取值范圍是 [2, 2]. 典型例題 3 解 : (1)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)? (1, +∞ ). f?(x)= 1, 1+x 1 令 f?(x)=0 得 x=0. 當(dāng) 1x0 時(shí) , f?(x)0。 (2)設(shè) 0ab, 證明 : 0g(a)+g(b)2g( )(ba)ln2. a+b 2 則 F?(x)=lnxln , a+x 2 當(dāng) 0xa 時(shí) , F?(x)0, F(x) 在 (0, a) 內(nèi)為減函數(shù) 。 (2)若函數(shù) y=f(x)g(x) 在 (1, 3) 上單調(diào)遞減 , 求 t 的取值范圍 . 解 : (1)∵ 函數(shù) f(x) 的圖象過點(diǎn) P(t, 0), ∴ f(t)=0?t3+at=0. ∵ t?0, ∴ a=t2. 又 ∵ 函數(shù) g(x) 的圖象也過點(diǎn) P(t, 0), ∴ g(t)=0?bt2+c=0. ∴ c=ab. ∵ 兩函數(shù)的圖象在點(diǎn) P 處有相同的切線 , ∴ f?(t)=g?(t). 而 f?(x)=3x2+a, g?(x)=2bx, ∴ 3t2+a=2bt. 將 a=t2 代入上式得 b=t. ∴ c=ab=t3. 綜上所述 , a=t2, b=t, c=t3. (2)方法一 y=f(x)g(x)=x3tx2t2x+t3. y?=3x22txt2=(3x+t)(xt). 當(dāng) y?=(3x+t)(xt)0 時(shí) , y=f(x)g(x)為減函數(shù) . 由 y?0, 若 t0, 則 xt。 (2)證明 : 對(duì)任意 x1, x2?(1, 1), 不等式 |f(x1)f(x2)|4 恒成立 . (1)解 :∵ 函數(shù) f(x) 是 R 上的奇函數(shù) , ∴ f(x)=f(x), 即 ax3cx+d=ax3cxd 對(duì) x?R 恒成立 . ∴ d=0. ∴ f(x)=ax3+cx, f?(x)=3ax2+c. ∵ 當(dāng) x=1 時(shí) , f(x) 取得極值 2, ∴ f(1)=2 且 f?(1)=0. ∴ a+c=2 且 3a+c=0. ∴ a=1, c=3. ∴ f?(x)=3x23. 由 f?(x)0 得 1x1。 f(x) 的極大值為 2. 典型例題 5 已知函數(shù) f(x)=ax3+cx+d (a?0) 是 R 上的奇函數(shù) , 當(dāng) x=1 時(shí) , f(x) 取得極值 2. (1)求 f(x) 的單調(diào)區(qū)間和極大值 。 ② 圖象過點(diǎn) (0, 3), 且在該點(diǎn)處的切線與直線 2x+y=0 平行 . (1)求 f(x) 的解析式 。 課后練習(xí) 1 已知函數(shù) f(x)=ax3+bx23x 在 x=?1 處取得極值 . (1)討論 f(1) 和 f(1) 是 函數(shù) f(x) 的極大值還是極小值 。 (2)求函數(shù) y=f(x) 的單調(diào)區(qū)間 . 解 : (1)∵ 函數(shù) f(x) 的圖象過點(diǎn) P(0, 2), ∴ f(0)=2?d=2. ∴ f(x)=x3+bx2+cx+2, f?(x)=3x2+2bx+c. ∵ f(x) 圖象在點(diǎn) M(1, f(1)) 處的切線方程為 6xy+7=0, ∴ 6f(1)+7=0, 即 f(1)=1, 且 f?(1)=6. ∴ 32b+c=6, 且 1+bc+2=1. 即 2bc=3, 且 bc=0. ∴ b=c=3. ∴ f(x)=x33x23x+2. (2)由 (1) 知 f?(x)=3x26x3. 令 f?(x)0 得 x1 2 或 x1+ 2 . 令 f?(x)0 得 1 2 x1+ 2 。 課后練習(xí) 4 解 : (1)由已知 f?(x)=3ax2+2bx2, ∵ 函數(shù) f(x) 在 x=2, x=1 處取得極值 , ∴ 12a4b2=0 且 3a+2b2=0. 由 f?(x)0 得 2x1。 (2)求函數(shù) y=f(x) 的單調(diào)區(qū)間 . 由 f?(x)0 得 x2 或 x1. ∴ y=f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 (2, 1)。 (2)設(shè) x0 為 f(x) 的一個(gè)極值點(diǎn) , 證明 : 1+x02 x04 [f(x0)]2= . 證 : (1)∵ f(x)=xsinx, k 為整數(shù) , ∴ f(x+2k?)f(x)=(x+2k?)sin(x+2k?)xsinx
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