【正文】 led (dilated) and shifted (translated) Mother wavelet function, ? 在 CWT中， scale和 position是連續(xù)變化的 2022年 10月 9日 縮放 (scaled)的概念 ? 例 1：正弦波的算法 2022年 10月 9日 縮放 (scaled)的概念 (續(xù) ) ? 例 2：小波的縮放 2022年 10月 9日 平移 (translation)的概念 2022年 10月 9日 (5) CWT的變換過程 可分成如下 5個步驟 ? 步驟 1: 把小波 和原始信號 的開始部分進行比較 ? 步驟 2: 計算系數(shù) c 。系數(shù) c 的值越高表示信號與小波越相似，因此系數(shù) c 可以反映這種波形的相關(guān)程度 ? 步驟 3: 把小波向右移，距離為 ，得到的小波函數(shù)為 ，然后重復步驟 1和 2。按上述步驟一直進行下去，直到信號 結(jié)束 ? 步驟 4: 擴展小波 ，例如擴展一倍，得到的小波函數(shù)為 ? 步驟 5: 重復步驟 1~4 2022年 10月 9日 (a) 二維圖 2022年 10月 9日 (b) 三維圖 連續(xù)小波變換分析圖 2022年 10月 9日 (6) 三種變換的比較 2022年 10月 9日 (7) 1984: subband coding (Burt and Adelson) ? SBC (subband coding)的基本概念： 把信號的頻率分成幾個子帶，然后對每個子帶分別進行編碼，并根據(jù)每個子帶的重要性分配不同的位數(shù)來表示數(shù)據(jù) ? 20世紀 70年代，子帶編碼開始用在語音編碼上 ? 20世紀 80年代中期開始在圖像編碼中使用 ? 1986年 Woods, J. 像濾波器組 (quadrature mirror filterbanks， QMF)把信號的頻帶分解成 4個相等的子帶 2022年 10月 9日 圖 (a) 正交鏡像濾波器 (QMF) 2022年 10月 9日 圖中的符號 表示頻帶降低 1/2， HH表示頻率最高的子帶， LL表示頻率最低的子帶。這樣的濾波器組稱為分解濾波器樹 (deposition filter trees) 圖 (b) 表示其相應(yīng)的頻譜 2022年 10月 9日 (8) 20世紀 80年代 Mallat, Meyer等人提出 multiresolution theory ? 法國科學家 的光滑函數(shù)，他用縮放 (dilations)與平移 (translations)均為 2的 j次冪的倍數(shù)構(gòu)造了平方可積的實空間 L2(R)的規(guī)范正交基，使小波得到真正的發(fā)展 ? 小波變換的主要算法由法國的科學家 Stephane Mallat提出 ? 1988年在構(gòu)造正交小波基時提出了多分辨率分析 (multiresolution analysis)的概念 , 從空間上形象地說明了小波的多分辨率的特性 ? 提出了正交小波的構(gòu)造方法和快速算法，叫做Mallat算法。 2022年 10月 9日 ? 小波分解得到的圖像 2022年 10月 9日 (9)著名科學家 Inrid Daubechies， Ronald Coifman和 Victor Wickerhauser等著名科學家 ? 把這個小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要的貢獻 ? Inrid Daubechies于 1988年最先揭示了小波變換和濾波器組 (filter banks)之間的內(nèi)在關(guān)系，使離散小波分析變成為現(xiàn)實 ? 在信號處理中，自從 Inrid Daubechies發(fā)現(xiàn)濾波器組與小波基函數(shù)有密切關(guān)系之后，小波在信號 (如聲音信號，圖像信號等 )處理中得到極其廣泛的應(yīng)用。這門新興學科的出現(xiàn)引起了許多數(shù)學家和工程技術(shù)人員的極大關(guān)注，是國際科技界和眾多學術(shù)團體高度關(guān)注的前沿領(lǐng)域。不難想象，連續(xù)小波變換的計算量是驚人的。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換叫做雙尺度小波變換 (dyadic wavelet transform)，它是離散小波變換 (discrete wavelet transform， DWT)的一種形式。 ?圖 (a)是 20世紀 40年代使用 Gabor開發(fā)的短時傅立葉變換 (short time Fourier transform， STFT)得到的時間 頻率關(guān)系圖 ?圖 (b)是 20世紀 80年代使用 Morlet開發(fā)的小波變換得到的時間 縮放因子 (反映頻率 )關(guān)系圖。猶如聲音那樣，把高頻分量去掉之后，聽起來聲音確實是變了，但還能夠聽清楚說的是什么內(nèi)容。在小波分析中，近似值是大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號的低頻分量。 雙通道濾波過程 2022年 10月 9日 ? 離散小波變換可以被表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹 ? 原始信號通過這樣的一對濾波器進行的分解叫做一級分解 ? 信號的分解過程可以疊代，也就是說可進行多級分解。這種樹叫做小波分解樹 (wavelet deposition tree) ? 分解級數(shù)的多少取決于要被分析的數(shù)據(jù)和用戶的需要 小波分解樹 2022年 10月 9日 (a)信號分解 (b)系數(shù)結(jié)構(gòu) (c)小波分解樹 小波分解樹 2022年 10月 9日 小波包分解樹 ? 小波分解樹表示只對信號的低頻分量進行連續(xù)分解。這樣分解得到的樹叫做小波包分解樹 (wavelet packet deposition tree)，這種樹是一個完整的二進制樹。小波包分解方法是小波分解的一般化，可為信號分析提供更豐富和更詳細的信息。例如，如果原始信號的數(shù)據(jù)樣本為 1000個，通過濾波之后每一個通道的數(shù)據(jù)均為 1000個，總共為 2022個。圖中的符號 表示降采樣。 19992022 Wolfram Research, Inc. header... ? HTransform A twodimensional generalization of the Haar transform which is used for the pression of astronomical images. The algorit