【正文】 ? 最小為)()( 2121bxayyyQnn???????????????????xyxbxayxban2xbya ??(93) (92)代入 (94)可看到：①當 x以離均差 (x )為單位時 ， 回歸直線的位置僅決定于 和 b ；② 當將坐標軸平移到以 ( ， )為原點時，回歸直線的走向僅決定于 b，所以一般又稱 b為 回歸斜率 (regression slope） 。 江蘇武進連續(xù) 9年測定 3月下旬至 4月中旬旬平均溫度累積值 (x， 旬 試計算其直線回歸方程 。度 )] a= =( )=(天 ) ? 故得表 ： ? 上述方程中回歸系數(shù)和回歸截距的意義為：當 3月下旬至 4月中旬的積溫 (x)每提高 1旬 ? 由于 x變數(shù)的實測區(qū)間為 [， ]，當 x＜ 或＞ ， y的變化是否還符合 =，觀察數(shù)據中未曾得到任何信息。 ? (三 )直線回歸方程的圖示 ? 直線回歸圖包括回歸直線的圖象和散點圖，它可以醒目地表示 x 和 y 的數(shù)量關系。如例 資料，以 x1= =； y?1y?2y?1y?2y?1? 以 x2= =。注意：此直線必通過點 ( ， )，它可作為制圖是否正確的核對。 y?2y?x y x， 3月下旬至 4月中旬旬平均溫度累積值圖 旬平均溫度累積值和一代三化螟盛發(fā)期的關系 ? 圖 9個觀察坐標點的代表，它不僅表示了例 ，也便于預測。度，則在圖 查到一代三化螟盛發(fā)期的點估計值在 5月 14— 15日，這和將 x=40代入原方程得到 =( 40)=。當然，這種估計仍然有隨機誤差，下文再作討論。 ? 建立回歸方程時用了 a 和 b 兩個統(tǒng)計數(shù)，故 Q 的自由度 2?? n?? 得 =SSyb(SP) =SSyb2(SSx) =∑y2a∑yb∑xy ? ?222??????nyynQsxy?xy SSSPSSyyQ 22 )()?( ?????(96A) (96C) (9 ? 總體直線回歸的數(shù)學模型： ? ～ N (0， )。7) j?2??jjj ebxay ???(9 ? (2) 在任一 X 上都存在著一個 Y 總體 (可稱為條件總體 )，它是作正態(tài)分布的，其平均數(shù) 是 X 的線性函數(shù)： XY /? / XXY ??? ?? (91)。試驗所得的一組觀察值(xi， yi )只是 中的一個隨機樣本。 XY /?),( 2???? XN ?2??),( 2???? XN ??)(0, 2?? N? 二、直線回歸的假設測驗和區(qū)間估計 ? (一 )直線回歸的假設測驗 1．回歸關系的假設測驗 （ 1） t 測驗 H0： =0 對 HA ： ? 0??xxyxybSSsxxss/2/????2)((911) 2?? n??2)( yy ??? 1?? n? ? 將 記作 U ? 回歸和離回歸的方差比遵循 的 F分布 0???? )?)(?( yyyy222 ?? )()()( yyyyyy ????????2)( yy ?? ?xy SSSPQSSyyU 22 )()( ?????? ?)/(/)(22??nQSSSPF x1?1? 2?? n2?因為 得 2．兩個回歸系數(shù)比較時的假設測驗 H0： 對 HA： (915) 021 ?? ?? 021 ?? ??212121//22xxyxxybbbb SSsSSssss22?????)()(/ 22 21212?????nnsxy? [例 ] 測定兩玉米品種葉片長寬乘積 (x)和實際葉面積 (y)的關系，得表 ，試測驗兩回歸系數(shù)間是否有顯著差異。因此，由 =a+bx給出的點估計的精確性，決定于 和 a、 b的誤差大小。 )( 2, ???? XN ?2??y? 2 xys /? ? XY /? 2．回歸截距的置信區(qū)間 ? 由 (9故根據誤差合成原理， a的標準誤為： ? 由 是遵循 的 t 分布的。17) asa /)( ??2?? n??as as(911)可推得總體回歸系數(shù) 的 95%可靠度的置信區(qū)間為：[L1=bt ， L2=b+t ] 4．條件總體平均數(shù) 的置信區(qū)間 ? 由 ，故 的標準誤為 ： 條件總體平均數(shù) 的 95%置信區(qū)間為 ： [L1= t ， L2= + ] (920) ?bs bs(94)代入 (922) ? 保證概率為 Y 或 y 的預測區(qū)間為 ： [L1= ， L2= + ] (9 y? y?ys ysy? ys? ys yst ? yst ysty ? ? ? ysty ? ? [例 ] 試制作例 y估計值包括和 y在內有 95%可靠度的置信區(qū)間圖。連 ? 接各 (x， L2)得 線。 ? 稱 (x， )的連線 ， (x， ) ? 的連線 。 3月下至 4月中旬平均溫度累積值 例 y 估計值及其 95%置信帶 y?CDABABCD XY /?1L?GH2L?EFAB15105051015202528 30 32 34 36 38 40 42 44 46? 三、直線回歸的矩陣求解 ? 回歸分析的 計算程序 可概括為： ? ① 算得 6個一級數(shù)據，即 n、 、 、 和 ? ② 由一級數(shù)據算得 5個二級數(shù)據，即 SSx、 SSy、 SP、 和 ； ? ③ 由二級數(shù)據計算 U 和 Q 并進行 F 測驗，顯著后進一步算出 b 和 a，獲得直線回歸方程。8)可改寫為： ?x ? 2x ?y ? 2y ?xyxy ? n 對觀察值可按 (925) (9則 (926) ? 要使 (9 ? 故由 ? 解得： )()( XbYXbYee ?????Q022)2()()(????????????????????????XbXYXbXbXbYXbYYbXbYXbYbQ 0???? XbXYX ? 即 ? 因此 b= (9 的元素用 cij表示，在統(tǒng)計上又稱 cij為 高斯乘數(shù)(Gauss multiplier)。 bi=b0時即為回歸截距的測驗； bi=b1時即為回歸系數(shù)的測驗。30) (930)中離回歸的標準誤 時要用到 Q，其矩陣計算式為： (932） ? （ 9 ? ??N YX YX1 ))(( ?? ? 當 (X， Y )總體呈正相關時，落在象限 Ⅰ 、 Ⅲ 的點一定比落在象限 Ⅱ 、 Ⅳ 的多，故 一定為正；同時落在象限 Ⅰ 、 Ⅲ 的點所占的比率愈大，此正值也愈大。 ? ??N YX YX1 ))(( ?? ? 的值可用來度量兩個變數(shù)直線相關的相關程度和性質。 ? 這些因素的影響是可以消去的。 ? 可定義雙變數(shù)總體的相關系數(shù)為： ? ??N YX YX1))(( ??? （ 933)的已與兩個變數(shù)的變異程度、單位和 N大小都沒有關系，是一個不帶單位的純數(shù)，因而可用來比較不同雙變數(shù)總體的相關程度和性質。 ?? ????????????????? ????????? ?NYYXX YXN 11????? ? ???? ???22 )()())((YXYXYXYX????? 樣本的相關系數(shù) r (9 ? 因此，又可有定義： yx SSSSSPyyxxyyxxr??? ? ???? ???22 )()())((? ?? 2)( yySS y? ?? 2)?( yy? ?? 2)?( yyyxyxy SSSSSPSSSSSPyyyySSUr???? ?? ??? /)()()?( 222? r 的取值區(qū)間是 [1， 1]。 ? r 的顯著與否還和自由度有關， 越大，受抽樣誤差的影響越小， r 達到顯著水平的值就較小。而相關系數(shù) r的正或負和回歸系數(shù) b是保持一致。35） 2?? ?? )( yyU? ? 2)( yy? ??? 2? )( xxU? ? 2)( xxxyyxSSSSSPSSSSSPr /)(/)( 222 ??yx SSSSSP??2)(? 所以決定系數(shù)即相關系數(shù) r 的平方值。這就可以防止對相關系數(shù)所表示的相關程度作夸張的解釋。 ? ② r 是可正可負的，而 r2則一律取正值，其取值區(qū)間為 [0， 1]。 ? (三 ) 相關系數(shù)和決定系數(shù)的計算 二、相關系數(shù)的假設測驗 ? (一 ) 的假設測驗 ? 測驗一個樣本相關系數(shù) r 所來自的總體相關系數(shù)是否為 0，所作的假設為 H0： 對 HA： ≠ 0。 ? r的抽樣誤差： 0??0?? ?21???nrsr2(937) ? 此 t 值遵循 的 t分布，由之可測驗 H0： 。 ? 將 (9 ?r22??? tt?C??C???= （ 937)的轉換已不再能由 t分布逼近。39) 圖 不同時的 r 的抽樣分布 (n=8) back 0????1. 0 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .00