矩陣的秩在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用-在線瀏覽
2024-09-03 03:28本頁(yè)面
【正文】 個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都是等價(jià)的。令，當(dāng)，此向量組是線性無(wú)關(guān)的，當(dāng)，此向量組是線性相關(guān)的。（1）問(wèn)t的值取多少時(shí)，該向量組線性相關(guān)？（2）問(wèn)t的值取多少時(shí)，該向量組線性無(wú)關(guān)？解: 從最后一個(gè)矩陣可知：（1）t5時(shí)，,向量組線性無(wú)關(guān)；（2）t=5時(shí)，,向量組線性相關(guān)。通常用于證明具有兩對(duì)向量的向量組。證明 令 則 因矩陣 可逆，故所以即線性無(wú)關(guān)。接下來(lái)我們從定理的證明入手，來(lái)探究矩陣的秩與線性方程組之間的關(guān)系。例: 分析以下方程組，探究分別取什么值時(shí)，方程組的解是什么樣子? 解: 其系數(shù)矩陣 增廣矩陣若要方程組有解則需.由此可以看出當(dāng)時(shí) 方程組無(wú)解。當(dāng),且時(shí) 方程組有唯一解。當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一的解。當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。定理2[1] :對(duì)于齊次線性方程組在齊次線性方程組有非零解時(shí)，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含有解的個(gè)數(shù)等于，這里r表示系數(shù)矩陣的秩。此時(shí)方程組可化簡(jiǎn)為 （2）方程組(1)與(2)同解，且為和由于兩個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，故為方程組的基礎(chǔ)解系，令表示方程組的通解。(三)矩陣的秩在解析幾何方面的應(yīng)用 通過(guò)以上對(duì)矩陣秩的相關(guān)定理和結(jié)論的證明，我們還將矩陣的秩推廣到解析幾何中，來(lái)判斷空間幾何中兩條直線的位置關(guān)系。給定以下兩條直線的方程 ； ；那么這兩條直線之間的位置關(guān)系取決于方程組
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