矩陣的秩在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-07-24 03:28本頁(yè)面
【正文】 矩陣(2)的秩為n,因此其特征值為。所以，原矩陣的特征值為?！【C上可得＝(五)矩陣的秩在其他方面的應(yīng)用矩陣的秩在多項(xiàng)式中的應(yīng)用,主要體現(xiàn)在互素的多項(xiàng)式中，通過(guò)運(yùn)用多項(xiàng)式互素的有關(guān)性質(zhì)，確定多項(xiàng)式秩之間的數(shù)量關(guān)系來(lái)解題。(1).是多項(xiàng)式，且次數(shù)均大于1,若互素，且，則。 (2).設(shè),，若互素,且, 則。 (3).設(shè),，若兩 兩互素，則。 設(shè)二次型,其中,可以有以下結(jié)論: (1).的正慣性指數(shù)與秩都等于n正定。 (2).的負(fù)慣性指數(shù)與秩都等于n正定。 (3).的正慣性指數(shù)與秩相等半正定。例：設(shè)是階半正定矩陣，為階正定矩陣，證明，等號(hào)成立當(dāng)并且只當(dāng)。證： 由題目知正定，半正定，正定，由矩陣的正定的結(jié)論知。當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，秩，正定，所以必有實(shí)可逆矩陣，有 其中，所以秩 設(shè)個(gè)特征值為，而秩，由半正定，因此最少有個(gè)，不妨設(shè)。那么的個(gè)特征值為，故有所以，故，即證得。3．用矩陣的秩解決線性空間問(wèn)題 在維線性空間里，個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量稱(chēng)為空間一組基，設(shè)為任一向量，那么=，其中系數(shù)是唯一的，這組數(shù)即為在一組基下的坐標(biāo)，可以看出線性空間的維數(shù)和它的一組基中含有的向量是相等的。這樣就把解決維數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)化成分析向量的個(gè)數(shù)問(wèn)題，就是來(lái)分析向量組的秩。參考文獻(xiàn)：7
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