第33講周期函數(shù)與周期數(shù)列-在線瀏覽
2024-08-09 16:11本頁面
【正文】 故 a1 ＋a2 ＋a3＋a4=8，于是 a1 ＋a2 ＋a3＋…＋a100=25(a1 ＋a2 ＋a3＋a4)=200．情景再現(xiàn)3．設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(－∞，＋∞)上以2為周期的函數(shù)，對k∈Z，用Ik表示區(qū)間(2k－1，2k＋1]，已知當(dāng)x∈I0時f(x)=x2．(Ⅰ)求f(x)在Ik上的解析表達式。(II) 又故f(x)在[0，10]和[－10，0]上均有有兩個解，從而可知函數(shù)在[0，2005]上有402個解，在[－2005．0]上有400個解，所以函數(shù)在[－2005，2005]上有802個解． 鏈接 若f (a＋x)=177。f (b －x)，(a≠b)(1)若f (a＋x)=f (a －x)，且f (b＋x)=f (b －x)，或f (a＋x)=－f (a －x)，且f (b＋x)=－f (b －x)，則2(b－a)是f ( x)的周期，即f[x＋2( b－a)]= f ( x)證明：因為f (2a＋x)=f [a＋(a ＋x)]=f (2a－x)=f (－x)，同理f (2b＋x) =f (－x)，因為f[x＋2( b－a)]= f[2b＋(x－2a)]= f[(x－2a)]= f ( x)或f (2a＋x)=f [a＋(a ＋x)]=－f [a－(a－x)]=－f (－x)，同理f (2b＋x) =－f (－x)，因為f [x＋2(b－a)] = f [2b＋(x－2a) =－ f [2a＋(－x)] = f (x)．(2)若f (a＋x)=f (a －x)，且f (b＋x)=－f (b －x)，或f (a＋x)=－f (a －x)，且f (b＋x)=f (b －x)，則4(b－a)是f ( x)的周期，即f[x＋4( b－a)]=－ f (－ x)．(證明留給讀者完成)例8數(shù)列{ an }滿足 an = an－1－ an－2 (n ≥3)．如果它的前1492項之和是1985， 而它的前1985項之和是1492．那么前2 001項的和是多少? (1985年中美數(shù)學(xué)邀請賽復(fù)賽試題)解 因為an = an－1－ an－2 =( an－2－ an－3 )－ an－2 =－ an－3同理an－3=－ an－6所以an = an－6故數(shù)列{ an }是周期數(shù)列．其周期為6． 且f( n)=f( 6k＋n)， (k∈N)． Sn= an＋an－1＋an－2＋L＋a1， 且an = an－1－ an－2 (n ≥3)所以Sn=( an－1－ an－2)＋( an－2－ an－3)＋ ( an－3－ an－4)＋…＋ ( a2 –a1) ＋ a2＋a1= an－1＋ a2 (n ≥3)因此S1492= a1491＋ a2= a2486＋3＋ a2= a3＋ a2=1985，S1985= a1984＋ a2= a3306＋4＋ a2= a4＋ a2= a3=1492．由以上兩式得a2=493，所以S2001= a2000＋ a2= a3336＋2＋ a2= a2＋ a2=986．情景再現(xiàn)5．已知f (x)是定義在R上的函數(shù)f (10＋ x)= f (10－ x)， f (20＋ x)= f(20－ x)． 則f (x)是( )． A．周期為20的奇函數(shù) B．周期為20的偶函數(shù) C．周期為40的奇函數(shù) D．周期為40的偶函數(shù) 6．在數(shù)列{ an }中． an = 13， an = 56．對所有的正整數(shù)n都有an＋1 = an＋ an＋2，求a1994 ．(1994年第5屆希望杯”競賽題)習(xí)題14A類習(xí)題1．定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么(1)的值為_______，(2)這個數(shù)列的前n項和的計算公式為________________ (2004年北京理工卷)． 2．若存在常數(shù)，使得函數(shù)的一個正周期為 ．（2003年春季北京卷）3．對任意整數(shù)x，函數(shù)滿足，若，則 ．4．已知函數(shù)f(x)的定義域為N，且對任意正整數(shù)x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)．若f(0)＝2004，求f(2004)．5．已知對于任意a，b∈R，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0⑴求證：f(x)是偶函數(shù)；⑵若存在正整數(shù)m使得f(m)＝0，求滿足f(x＋T)＝f(x)的一個T值(T≠0)6．記f(n)為自然數(shù)n的個位數(shù)字，an = f(n2)－ f(n)．求a1＋a2＋a3＋L＋a2006的值．B類習(xí)題7．函數(shù)定義在整數(shù)集上． 滿足：=， 求的值．8． 已知數(shù)列{ an }滿足 a1=
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