函數的奇偶性與周期性復習——老師用-在線瀏覽
2025-06-03 23:39本頁面
【正文】 ＋∞)上是增函數，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]0，∴xf(x)0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，從而有函數f(x)的圖象如圖所示：則有不等式x[f(x)－f(－x)]0的解集為{x|－1x0或0x1}，選D.答案：D：由f(x＋3)＝f(x)得函數f(x)的周期T＝3，則f(2 017)＝f(1)＝f(－2)，又f(x)是定義在R上的偶函數，所以f(2 017)＝f(2)＝1.答案：1：由題意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)為偶函數，∴a＝－1.答案：－1：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，即函數f(x)是周期為4的函數，由③知f(x)在[1,3]上是減函數．所以f(2 015)＝f(3)，f(2 016)＝f(0)＝f(2)，f(2 017)＝f(1)，所以f(1)f(2)f(3)，即f(2 017)f(2 016)f(2 015)．答案：f(2 017)f(2 016)f(2 015)9．解：(1)設x0，則－x0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，于是x0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調遞增，結合f(x)的圖象知所以1a≤3，故實數a的取值范圍是(1,3]．：∵y＝f(x)是奇函數，∴f(－1)＝－f(1)＝0.又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數，∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函數，若f0＝f(1)，∴即0x1，解得x或x0.f0＝f(－1)，∴∴x－1，解得x∈?.∴原不等式的解集是.B組練習答案：：由題意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，對于選項A，f(－x)偶”是偶；(3)“奇奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶f(－x)．∴f(x)既是奇函數又是偶函數．(2)∵函數f(x)＝＋的定義域為，不關于坐標原點對稱，∴函數f(x)既不是奇函數，也不是偶函數．(3)∵f(x)的定義域為R，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數．(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定義域為[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數．(5)易知函數的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱，又當x0時，f(x)＝x2＋x，則當x0時，－x0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；當x0時，f(x)＝x2－x，則當x0時，－x0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函數是偶函數．函數奇偶性的判定的三種常用方法1．定義法：2．圖象法：3．性質法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇函數的奇偶性與周期性一、函數奇偶性定義奇偶性定 義圖象特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數關于y軸對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數關于原點對稱二、需要注意的問題1．判斷函數的奇偶性，易忽視判斷函數定義域是否關于原點對稱．定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件．2．判斷函數f(x)的奇偶性時，必須對定義域內的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能說存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．3．分段函數奇偶性判定時，利用函數在定義域某一區(qū)間
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