第33講周期函數(shù)與周期數(shù)列-資料下載頁
2025-06-29 16:11本頁面
【正文】 x)是以6為周期的周期函數(shù)，2004＝6334 ，∴ f(2004)＝f(0)＝2004．5． ⑴證明：令a＝b＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)又令a＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x) ， 所以，f(x)為偶函數(shù)⑵令a＝x＋m，b＝m 得f(x＋2m)＋f(x)＝2f(x＋m)f(m)＝0所以f(x＋2m)＝－f(x) 于是f(x＋4m)＝f[(x＋2m)＋2m] ＝－f(x＋2m) ＝f(x)，即T＝4m(周期函數(shù))6． 解易知f(n＋10)=f(n)， f[(n＋10)2]=f(n2)所以an＋10 = an 即an 是以10為周期的數(shù)列又易知a1=0，a2=2，a3=6， a4=2，a5=0，a6=0，a7=2，a8=－4，a9=－8， a10=0．所以a1＋a2＋a3＋L＋a10=0． 故a1＋a2＋a3＋L＋a2005= a1＋a2＋a3＋L＋a6=10．7． 解 先考慮n=999(近1000時) 情況： = ==． (有規(guī)律)．∴=======……=======997．8． 解 易知a3=3，a4=1，a5=2，由 anan＋1an＋2=an＋ an＋1＋an＋2， ①得an＋1an＋2an＋3=an＋1＋ an＋2＋an＋3， ②②－①得：(an＋3－an)( an＋1an＋2－1)=0，又an＋1an＋2≠1，所以an＋3－an=0，即an 是以3為周期的數(shù)列，又a1＋ a2＋a3=6，所以=6668＋1＋2=4011．9． 證明: (1）不妨令x=x1－x2，則f(－x)=f(x2－x1)= =－f(x1－x2)=－f(x)．∴f(x)是奇函數(shù)．(2）要證f(x＋4a)=f(x)，可先計算f(x＋a)，f(x＋2a)．∵f(x＋a)=f［x－(－a)］=．∴f(x＋4a)=f［(x＋2a)＋2a］==f(x)，故f(x)是以4a為周期的周期函數(shù)．10． 解（1）對于非零常數(shù)T，f(x＋T)=x＋T， Tf(x)=Tx． 因為對任意x∈R，x＋T= Tx不能恒成立，所以f(x)=（2）因為函數(shù)f(x)=ax（a0且a≠1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點，所以方程組：有解，消去y得ax=x，顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)T，使aT=T． 于是對于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M．（3）當k=0時，f(x)=0，顯然f(x)=0∈M．當k≠0時，因為f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f(x＋T)=T f(x)成立，即sin(kx＋kT)=Tsinkx ．因為k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx＋kT∈R，于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx＋kT) ∈[－1，1]，故要使sin(kx＋kT)=Tsinkx ．成立，只有T=，當T=1時，sin(kx＋k)=sinkx 成立，則k=2mπ， m∈Z ． 當T=－1時，sin(kx－k)=－sinkx 成立，即sin(kx－k＋π)= sinkx 成立，則－k＋π=2mπ， m∈Z ，即k=－2(m－1) π， m∈Z ．綜合得，實數(shù)k的取值范圍是{k|k= mπ， m∈Z}11． 解 因為an = an－1－ an－2 =( an－2－ an－3 )－ an－2 =－ an－3，同理an－3=－ an－6所以an = an－6，故數(shù)列{ an }是周期數(shù)列．其周期為6． 因此Sn= an＋an－1＋an－2＋L＋a1， 且an = an－1－ an－2 (n ≥3)．所以Sn=( an－1－ an－2)＋( an－2－ an－3)＋ ( an－3－ an－4)＋…＋ ( a2 –a1) ＋ a2＋a1= an－1＋ a2 (n ≥3)． 因此S2003= a2002＋ a2= a3336＋4＋ a2= a4＋ a2=S5，故選A．12． 證明:由已知f(x)＋所以 即 ①同理有即 ②由①② 于是f(x＋1)－f(x)＝f(x＋2)－f(x＋1)，記這個差為d同理f(x＋3)－f(x＋2)＝f(x＋2)－f(x＋1)＝d …… f(x＋n＋1)－f(x＋n)＝f(x＋n)－f(x＋n－1) ＝…… ＝f(x＋1)－f(x)＝d即是說數(shù)列{f(x＋n)}是一個以f(x)為首項，d為公差的等差數(shù)列因此f(x＋n)＝f(x)＋nd＝f(x)＋n[f(x＋1)－f(x)]對所有的自然數(shù)n成立，而對于x∈R，|f(x)|≤1，即f(x)有界，故只有f(x＋1)－f(x)＝0即f(x＋1)＝f(x) x∈R 所以f(x)是周期為1的周期函數(shù)．
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