第33講周期函數(shù)與周期數(shù)列(已修改)
2025-07-11 16:11 本頁(yè)面
【正文】 第14講 周期函數(shù)與周期數(shù)列本節(jié)主要內(nèi)容有周期；周期數(shù)列、周期函數(shù)．周期性是自然規(guī)律的重要體現(xiàn)之一，例如地球公轉(zhuǎn)的最小正周期就體現(xiàn)為年的單位．在數(shù)學(xué)中，我們就經(jīng)常遇見(jiàn)各種三角函數(shù)，這類(lèi)特殊的周期函數(shù)，特別是正弦、余弦函數(shù)與音樂(lè)有著密切的聯(lián)系:19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉證明了所有的樂(lè)聲──不管是器樂(lè)還是聲樂(lè)都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述，它們一定是一些簡(jiǎn)單的正弦周期函數(shù)的和． 作為認(rèn)識(shí)自然規(guī)律的主要手段，數(shù)學(xué)在本學(xué)科中嚴(yán)格地引進(jìn)了“周期”這個(gè)重要概念．在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們僅僅討論定義域是整個(gè)實(shí)數(shù)軸的實(shí)值映射的周期性，盡管形式十分簡(jiǎn)單，但與之相關(guān)的問(wèn)題仍有待研究．中學(xué)數(shù)學(xué)里稱函數(shù)的周期，沒(méi)有特殊說(shuō)明是指其最小正周期．如果函數(shù)y＝f(x)對(duì)于定義域內(nèi)任意的x，存在一個(gè)不等于0的常數(shù)T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期．一般情況下，如果T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(k∈N＋)也是f(x)的周期．1．若f (x＋T)=－f ( x)，則2T是f ( x)的周期，即f(x＋2 T)= f ( x)證明：f(x＋2 T)= f(x＋T＋T)=－ f(x＋T)= f ( x)，由周期函數(shù)的性質(zhì)可得f(x＋2n T)= f ( x)，(n∈Z)2．若f (x＋T)=177。，則2T是f ( x)的周期，即f(x＋2 T)= f ( x)．僅以f (x＋T)=證明如下：f(x＋2 T)= f(x＋T＋T)= = f ( x)．由周期函數(shù)的性質(zhì)可得f(x＋2n T)= f ( x)，(n∈Z)3．在數(shù)列中，如果存在非零常數(shù)，使得對(duì)于任意的非零自然數(shù)均成立，那么就稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中叫數(shù)列的周期．A類(lèi)例題例1（2001年上海春季卷） 若數(shù)列前8項(xiàng)的值各異，且對(duì)任意的都成立，則下列數(shù)列中可取遍前8項(xiàng)值的數(shù)列為 （ ）A． B． C． D．解析 由數(shù)列{an}前8項(xiàng)的值各異， 對(duì)任意n∈N＋都成立，得數(shù)列{an}的周期T= 8，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2k＋1， 3k＋1， 4k＋1， 6k＋1中k= 1，2，3，…代入被8除若余數(shù)能取到0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7即為答案．經(jīng)檢驗(yàn)3k ＋ 1可以，故可取遍{an}的前8項(xiàng)值．答案為B．說(shuō)明 本題還可以奇偶性的角度考慮，在2k＋1， 3k＋1， 4k＋1， 6k＋1中，2k＋1， 4k＋1， 6k＋1都是奇數(shù)，除8后仍都是奇數(shù)，只有3k＋1除8后余數(shù)能取到0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7．例2 定義在R上的奇函數(shù)且f ( x＋2)=f ( x－2)，且f (1)= 2則f ( 2)＋f (7)= ．解 因?yàn)閒 ( x＋2)=f ( x－2)，知f(x＋2T)= f ( x)．即f(x＋4)= f ( x)．所以f(7)= f ( 3＋4)= f(－1＋4)= f ( －1)=－ f ( 1)=－2．f(－2)= f ( －2＋4)= f(2) 所以f(2)= 0． 從而f ( 2)＋f (7)=－2． 鏈接 若f (x＋T)=177。f ( x－T)，①f (x＋T)=f ( x－T)，2T是f ( x)的周期，即f(x＋2 T)= f ( x)證明：f(x＋2 T)= f(x＋T＋T)=f(x＋T－T)= f ( x)②f (x＋T)=－f ( x－T)，4T是f ( x)的周期，即f(x＋4T)= f ( x)證明：f(x＋2T)= f(x＋T＋T)=－ f[(x＋T)－T]=－ f ( x) 所以由(一)可得f(x＋4T)= f ( x)． 情景再現(xiàn)1．已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x)，求證:2|a－b|是f(x)的一個(gè)周期．(a≠b)2． 已知數(shù)列{}滿足x1=1，x2=6，(n≥2)，求x2006及S2006．B類(lèi)例題例3定義在R上的奇數(shù)滿足 f (1＋x)=f (1－x)，當(dāng)時(shí)， f ( x)=2x－4，則時(shí)f ( x)=因?yàn)閒 (1＋x)=f (1－x)， f (x)=f (－x)，知f(x＋4)= f ( x)，故當(dāng)時(shí)， x＋4， f ( x)= f(x＋4)= 2x＋4－4=2x．又時(shí)，即－，所以f ( x)=－ f ( －x)=－ 2－x()鏈接：若f (T ＋x)=177。f (T －x)，(1) f (T ＋x)=f (T －x)①若f ( x)是偶函數(shù)，則2T是f ( x)的周期，即f(x＋2T)= f ( x)②若f ( x)是奇函數(shù)，則4T是f ( x)的周期，即f(x＋4T)= f ( x) (2) f (T ＋x)=－f (T －x)①若f ( x)是偶函數(shù)，則4T是f ( x)的周期，即f(x＋4T)= f
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