反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂關(guān)系的討論畢業(yè)論文-在線(xiàn)瀏覽
2024-08-07 23:08本頁(yè)面
【正文】 的結(jié)論,得出它們之間確實(shí)有著本質(zhì)的聯(lián)系這一事實(shí),進(jìn)而找到這一聯(lián)系；意義是根據(jù)它們的聯(lián)系,就可以通過(guò)離散的形式的理論或研究方法探索得到相應(yīng)的連續(xù)形式的結(jié)論,或反過(guò)來(lái)由連續(xù)的形式探究離散形式的理論方法,從而學(xué)會(huì)知識(shí)的遷移,解決更多的問(wèn)題. 相關(guān)文獻(xiàn)綜述《數(shù)學(xué)分析》（上、下冊(cè)）是數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要基礎(chǔ)課,它的任務(wù)是使學(xué)生獲得極限論,一元函數(shù)微分學(xué),數(shù)列,極限,函數(shù)極限,連續(xù)性,導(dǎo)數(shù)和微分,微分中值定理及其應(yīng)用,實(shí)屬完備性,不定積分,定積分及其應(yīng)用,反常積分等,附錄分為微分學(xué)簡(jiǎn)史,實(shí)數(shù)理論,積分表等；下冊(cè)包括數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),冪級(jí)數(shù),隱函數(shù),多元函數(shù)微積分等.《數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法》這本書(shū)全面、系統(tǒng)地總結(jié)和歸納了數(shù)學(xué)分析問(wèn)題的基本類(lèi)型,每種類(lèi)型的基本方法,旨在拓寬基礎(chǔ),啟發(fā)思路,、連續(xù)、微分、積分、級(jí)數(shù)；多元函數(shù)極限、連續(xù)、微分、文獻(xiàn)及參考書(shū),經(jīng)過(guò)反復(fù)推敲、修改和篩選,、靈活性、啟發(fā)性、趣味性和綜合性,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的能力極為有益.《數(shù)學(xué)分析的思想方法》通過(guò)多角度、深層次；對(duì)數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)分析中的美學(xué)思想進(jìn)行了論述與分析；對(duì)微積分創(chuàng)立過(guò)程中數(shù)學(xué)家的思想和方法進(jìn)行了整理與分析；最后以附錄的形式將古代數(shù)學(xué)家解決問(wèn)題的方法進(jìn)行了舉例與說(shuō)明.《數(shù)學(xué)分析縱橫談》的作者用唯物史觀闡述微積分的發(fā)展史和評(píng)價(jià)歷史人物, 采用文理滲透的方法,探索數(shù)學(xué)分析與史學(xué)、 邏輯學(xué)、 哲學(xué)、 美學(xué)及心理學(xué)等的聯(lián)系,融學(xué)術(shù)性、 教育性、 指導(dǎo)性為一體, 是一部數(shù)學(xué)研究的力作, 對(duì)21世紀(jì)的《數(shù)學(xué)分析》課程建設(shè), 將發(fā)揮重要的作用.《數(shù)學(xué)分析原理》是數(shù)學(xué)系經(jīng)典原版書(shū)籍,共分為十一章,涉及了實(shí)和復(fù)的數(shù)域、拓?fù)?、序列與級(jí)數(shù)、連續(xù)性、微分、黎曼—斯蒂爾切斯積分、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、特殊函數(shù)、多元函數(shù)以及勒貝格理論等與數(shù)學(xué)分析相關(guān)的內(nèi)容.反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)在惟質(zhì)及斂散性判別法方面極其類(lèi)似，無(wú)窮積分的許多結(jié)論幾乎是無(wú)窮級(jí)數(shù)相應(yīng)部分的逐字逐句的“搬家”.目前,[1]；關(guān)東月[2]，研究了無(wú)窮積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的必要條件的不同之處。 論文的主要結(jié)構(gòu)對(duì)反常積分和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念的定義、性質(zhì)以及收斂判別法等方面列出了很多平行結(jié)論加以比較,對(duì)其中一些重要結(jié)論給出了證明,.第1章從選題背景及意義、問(wèn)題提出、相關(guān)文獻(xiàn)綜述、論文結(jié)構(gòu)這四個(gè)方面來(lái)闡述,說(shuō)明了該論題研究現(xiàn)狀和成果. 第2章 從反常積分的收斂方法，,無(wú)窮積分和瑕積分又可以相互轉(zhuǎn)化.第3章 簡(jiǎn)單介紹無(wú)窮級(jí)數(shù)概念與各種收斂方法. 第4章 探討了反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂關(guān)系，并對(duì)它們的判別法進(jìn)行了對(duì)比研究. 第2章 反常積分的收斂方法通常所講的反常積分主要包含兩類(lèi)：無(wú)窮區(qū)間上的反常積分(或稱(chēng)無(wú)窮積分)和無(wú)界函數(shù)的反常積分(或稱(chēng)瑕積分).,無(wú)窮積分和瑕積分又可以相互轉(zhuǎn)化,因此,只需要對(duì)其中一類(lèi)反常積分進(jìn)行討論即可,以下主要以無(wú)窮積分為例,探析反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性關(guān)系.[3]（比較判別法） 設(shè)定義在 上的兩個(gè)非負(fù)函數(shù)和都在任何有限區(qū) 上可積,且滿(mǎn)足 , 則當(dāng)收斂時(shí)必收斂(或者,當(dāng)發(fā)散時(shí)必發(fā)散）. （比較判別法的極限形式） : 若和都在任何有限區(qū)間上可積,當(dāng)時(shí),且,則有： (i)當(dāng)時(shí),與同斂態(tài)；（ii）當(dāng)時(shí),有收斂可推知也收斂； (iii)當(dāng)時(shí),由發(fā)散可推知也發(fā)散. 特別地,如果選用作為比較對(duì)象,則我們有如下兩個(gè)推論（稱(chēng)為柯西判別法）. （Cauchy判斂法）: 若定義于 ,且在任何有限區(qū)間上可積,則有：(i)當(dāng)； （ii） （Cauchy判斂法的極限形式 ）: 若是定義于上的非負(fù)函數(shù),在任何有限區(qū)間上可積,且 ,則有 （i）當(dāng) (ii)當(dāng) 討論下列無(wú)窮積分的收斂性 解：,所以由推論3知收斂.這里來(lái)介紹兩個(gè)判別一般無(wú)窮積分收斂的判別法（狄利克雷判別法） 若在區(qū)間上上有界 , 在上當(dāng)時(shí)單調(diào)趨于0,則收斂. （阿貝爾判別法） 若收斂 ,在上單調(diào)有界 ,解：數(shù)列，但時(shí)有同時(shí)，當(dāng)時(shí)有即嚴(yán)格遞減且有界；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，滿(mǎn)足萊布尼茨條件，即收斂；時(shí)，有即嚴(yán)格遞減且有界.又由于是收斂的，故由阿貝爾判別法知原級(jí)數(shù)收斂.本章詳細(xì)介紹了各種級(jí)數(shù)的收斂判別方法用不同的方法來(lái)判斷級(jí)數(shù)的斂散性. 第4章 無(wú)窮級(jí)數(shù)與無(wú)窮積分的關(guān)系探討無(wú)窮積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性都是通過(guò)極限來(lái)定義的，只不過(guò)無(wú)窮積分是函數(shù)的極限，無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)列的極限，兩者有著密切的聯(lián)系. 收斂的充要條件是:對(duì)任一趨于的遞增數(shù)列（其中A1=a）,數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,且. （41）證：必要性 如果反常積分收斂,則充分性 已知對(duì)任意的趨于+∞的遞增數(shù)列（其中A1=a）,數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,即它的部分和數(shù)列（或）收斂,由海涅定理知,反常積分收斂,且由此得到討論無(wú)窮積分的收斂問(wèn)題可考慮轉(zhuǎn)化為討論無(wú)窮級(jí)數(shù)的
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