【正文】 ba 的某分割 T ,使得? ??T ii x ?? ,在 T 上在增加一個分點 c ,得到一個新的分割 *T ,則 ? ? ????* .**T T iiii xx ??? 分割 *T 在 ],[ ca 與 ],[ bc 上的部分 ,分別對 ],[ ca 與 ],[ bc 的分割 ,記為 39。 **,**39。 T T iiiiT T iiii xxxx ?????? . 所以 )(xf 在 ],[ ca 與 ],[ bc 上都可積 . 以上述證明為基礎 ,下面我們開始證明 dxxfxfdxxf bcba ca ?? ? ?? )()()(.為此對 ],[ ba做分割 T ,恒使點 c 為此區(qū)間上的一個分點 ,則 T 在 ],[ ca 與 ],[ bc 上的部分各自構成相應的分割 39。)39。 ? ?? ????? T T iiiiT ii xfxfxf ???所以當 0?T 時 ,對上式取極限 ,就能得到 dxxfxfdxxf bcba ca ?? ? ?? )()()(. 性質 3 單調性：若 )(xf 與 )(xg 為 ],[ ba 上的兩個可積函數(shù) ,且 ],[),()( baxxgxf ??則有 ?? ? baba dxxgdxxf )()(. 證 令 ],[,0)()()( baxxfxgxF ???? ,根據(jù)積分的可加性知 , )(xF 在 ],[ ba 也是可積的 ,則有 ?? ? ??? baba ba dxxfdxxgdxxF )()()(0.所以 ?? ? baba dxxgdxxf )()(. 性質 4 絕對值不等式：若 )(xf 為 ],[ ba 上的可積函數(shù) ,則 )(xf 在 ],[ ba 也可積 ,并且dxxfdxxf baba ?? ? )()( . 證 )(xf 為 ],[ ba 上的可積函數(shù) ,故任給 0?? ,存在某分割 T ,使得 ?? ???T ifi x ,根據(jù)絕對值不等式 ,)()39。( xfxfxfxf ??? 可得 ,fifi ?? ? .?? ????T ifiT ifi xx ??? 所以說 )(xf 在 ],[ ba 可積 . 再 由 不 等 式 ,)()()( xfxfxf ??? 易證得.)()( dxxfdxxf baba ?? ? 8 注 這個命題的逆命題一般不成立 ,例如????? 為無理數(shù)為有理數(shù)xxxf ,1,1)( 在 ]1,0[ 上不可積 ,但1)( ?xf ,它在 ]1,0[ 上可積 . 例 1 求 ,)(11?? dxxf其中??? ?? ????? ? .10, ,01,12)( xe xxxf x 解 對于分段的定積分 ,通常利用積分區(qū)間的可加性來計算 ,即 ).1(01)(10)()()12()()()( 12100 1101 1 0 1 ????????????? ????? ? ???? ? eexxdxedxxdxxfdxxfdxxf xx 2. Lebesgue 積分的主要性質 [5] 性質 1 線性性質：若 )(),( xgxf 在可測集 E 上可積 ,則 )()( 21 xgkxfk ? 可積 ,并且.)()()()( 2121 ??? ??? EEE dxxgkdxxfkdxxgkxfk 性質 2 積分區(qū)域的可加性：設 )3,2,1( ??? NEE n 互不相交 ,1????n nEE)(xf 在每個E 上有積分時 , )(xf 在每個 nE 上有積分 ,且 .)()(1? ????? n EE n dxxfdxxf 性質 3 單 調 性 ： 若 )(),( xgxf 在可測集 E 上可積 , 且 ),()( xgxf ? 則.)()( ?? ? EE dxxgdxxf 性質 4 絕對值不等式性：若 )(xf 在可測集 E 上可積 ,則 )(xf 也是 E 上的可積函數(shù) ,并且 .)()( dxxfdxxfEE ??? 性質 5 絕對可積性：若 )(xf 在可測集 E 上可積 ? )(xf 也是 E 上的可積函數(shù) . 綜上所述 ,Riemann 積分 與 Lebesgue 積分在線性性、積分區(qū)間可加性、絕對值不等式性和絕對可積性方面的基本形式完全一致 .兩者的不同點在于：其一 ,Lebesgue 積分的積分值可以有限也可以無限 ,而 Riemann積分中的積分值只能是有限值；其二 ,Riemann積分 與 Lebesgue積分在絕對可積性上有所不同；其三 ,Lebesgue 積分具有絕 對連續(xù)性而 Riemann 積分不具備該性質 .我們又一次發(fā)現(xiàn) Lebesgue 積分比 Riemann 積分更具優(yōu)越性 . 9 （四） Riemann 積分與 Lebesgue 在積分與極限交換次序條件的比較 1. Riemann 積分中積分與極限的交換次序的條件 在 Riemann 積分下 ,要交換數(shù)列極限與積分的次序函數(shù)列要滿足一致收斂 ,否則不能交換 .然而 ,這一條件通常情況下又不容易滿足 . 2. Lebesgue 積分中積分與極限的交換次序的條件 Lebesgue 積分中積分與極限的交換次序的充要條件 ,即 Lebesgue 控制收斂定理 .首先 介紹一個定理， Riesz 定理：給定可測集 E 上幾乎出處有限的可測函數(shù)列 ? ? ,1??kkf 在 E 上依測度收斂于幾乎出處有限的可測函數(shù) )(xf ,則存在子列 ??ikf使得 ]6[]..[.),()(lim Eeaxfxf iki ??? 在有了上述定理的基礎上我們來了解 Lebesgue 控制收斂定理 .設 （ i） ? ? )1( ?nfn 是可測集 E 上的可測函數(shù)列 , （ ii） ,2,1],.[.),()( ??? nEeaxFxf n 且 )(xF 在 E 可積（ ? ? )( ?nfn 稱為 )(xF 所控制 ,而 )(xF 稱為控制函數(shù)） , （ iii） ? ? )1( ?nfn 依測度收斂于 )(xf , 則 )(xf 在 E 上可積 ,且 ]7[.)()(lim dxxfdxxfEE nn ?? ??? 證 由于 ? ? )1( ?nfn 依測度收斂于 )(xf ,由 Riesz定理 ,存在子列 ? ? ..eafni 收斂于 ),(xf且由 ].[.),()( EeaxFxfn ? 得 ]..[.),()( EeaxFxf ? 由 )(xF 可積 ,得出 )(xf 在 E 可積 ,同樣說明在每一個 )(xfn 在 E 上都是可積的 . 再證 .)()(lim dxxfdxxfEE nn ?? ???分兩個步驟證明： （ i）先設 ,??mE 對任給的 ,0?? 因為 )(xF 可積 ,由 Lebesgue 積分的絕對連續(xù)性 ,存在 ,0?? 使得當 ??? )(, emEe 時有 .4)( ??? dxxFe 又因為 ? ? )1( ?nfn 依測度收斂于 )(xf ,所以存在 ,0?N 使得當 Nn? 時 , ? ?? ? ,?? ??? ffEm n 10 其中 ,0)(2 ?? Em??所以當 Nn? 時 ,有 ? ? .4)( ?? ?? ?? dxxFffE n 因此 ??? ??? E nEE n dxxfxfdxxfdxxf )()()()( ? ? ? ? dxxfxfdxxfxf ffE nffE n nn ?? ???? ???? ?? )()()()( ? ? ? ???? ????? ? ?? ffmEdxxF nffE n )(2 )(42 Em???? ?? 22 ???? .?? 這就證明了當 ??mE 時 ,成立 .)()(lim dxxfdxxf EE nn ?? ??? （ ii）設 ,??mE 因為 )(xF 在 E 上可積 ,由非負可測函數(shù)積分的定義 ,對任給的 ,0??存在 ???? )(, kk EmEE 使得 ,4)]([)( ??? ?? kE kE dxxFdxxF 所以 dxxFdxxFdxxF kk EEEE ??? ??? )()()( dxxFdxxFkE kE ?? ?? )]([)( .4?? 另一方面 , kE 上的可測函數(shù)列 ? ?ffn? 滿足 ? ??,2,1],.[.),(2 ??? nEeaxFff kn 且 ffn? 依測度收斂于 0,故由情形（ i）的證明知存在正整數(shù) ,N 當 Nn? 時 ,有 .2???? dxffkE n 因此 dxxfxfdxxfdxxf E nEE n ??? ??? )()()()( dxxfxfkEE n? ? ?? )()( dxfxfkE n? ?? )()( 11 2)(2 ??? ? ? dxxFkEE 242 ????? .?? 即 .)()(lim dxxfdxxf EE nn ?? ??? 3. 對兩者的比較 相對于 Riemann 積分 ,Lebesgue 積分 在積分與極限的交換次序的條件要求較為寬松 ,也更加容易驗證 .Lebesgue 控制收斂定理的創(chuàng)立凸顯出 Lebesgue 積分理論的極大優(yōu)越性 . 例 2 求 .s in1lim 105221? ??? nxdxxnnxn. 分析 因為 nxxnnxxfn 5221 s in1)( ?? 不一致收斂 ,所以在 Riemann 積分不能計算 .而在Lebesgue 積分中 ,由于 ,211)( 221xxnnxxfn ???又因為x21在 ]1,0[ 上可積 ,滿足 Lebesgue控制收斂定理 ,故可以交換積分與極限的次序 ,從而計算出結果 . 解 ,211)( 221xxnnxxfn ????又x21在 ]1,0[ 上可積 ,由 Lebesgue 控制收斂定理得：.0s i n1l i ms i n1l i m 10 10 52215221? ????? ???? n x d xxnnxn x d xxnnx nn )0)(lim( ??? xfnn 例 3 ? ??? ]2,0[ .1lim dmxn nn 分析 n nn xxf ??