【正文】 .......................... 9 第三節(jié) 本章 小結(jié) .......................................................... 12 第二章 高精度數(shù)值積分算法 ................................................... 13 第一節(jié) 梯形法的遞推 ...................................................... 13 第二節(jié) 龍貝格求積公式 .................................................... 14 第三節(jié) 高斯求積公式 ...................................................... 17 第四節(jié) 高斯 勒讓德求積公式 ............................................... 19 第五節(jié) 復(fù)化兩點(diǎn)高斯 勒讓德求積公式 ....................................... 22 第六節(jié) 本章小結(jié) .......................................................... 23 第三章 各種求積公式的 MATLAB 編程實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用 ................................ 24 第一節(jié) 幾個(gè)低次牛頓 科特斯求積公式 的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) ....................... 24 第二節(jié) 復(fù) 化求積公式 的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) ...................................... 28 第三節(jié) 龍貝格求積公式 的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) .................................... 33 第三節(jié) 高斯 勒讓德求積公式 的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) ............................... 34 第五節(jié) 各種求積算法的分析比較 ............................................ 36 第六節(jié) 本章小結(jié) .......................................................... 38 結(jié) 論 ....................................................................... 39 致 謝 ....................................................................... 40 參考文獻(xiàn) ..................................................................... 41 附 錄 ....................................................................... 43 一、英文原文 .......................................................... 43 二、英文翻譯 .......................................................... 52 重慶郵電大學(xué)本科 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 1 前 言 對(duì)于 定 積分 ()ba f xdx?， 在 求某函數(shù)的定積分時(shí)， 在一定條件下，雖然有 牛頓 萊布里茨 公式 ( ) ( ) ( )baI f x dx F b F a? ? ??可以計(jì)算定積分的值，但在很多情況下 ()fx的原函數(shù)不易求出 或非常復(fù)雜。 因此能夠借助牛頓 萊布尼茲公式計(jì)算定積分的 情形 是不多的。 因此，探討近似計(jì)算的數(shù)值積分方法是有明顯的實(shí)際意義的，即有必要研究定積分的數(shù)值計(jì)算方法，以解決定積分的近似計(jì)算。 微積分的發(fā)明是人類科學(xué)史上一項(xiàng)偉大的成就，在科學(xué)技術(shù)中，積分是經(jīng)常遇到的一個(gè)重要計(jì)算環(huán)節(jié)。隨著計(jì) 算機(jī)的出現(xiàn) ， 近幾十年來(lái)，對(duì)于數(shù)值積分問(wèn)題的研究已經(jīng)成為一個(gè)很活躍的研究領(lǐng)域。 國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者在數(shù)值積分應(yīng)用領(lǐng)域 也 提出了許多新方法。通過(guò)這個(gè)課題的研究，我 們 將會(huì) 更好地 掌握運(yùn)用數(shù)值積分算法求特殊積分函數(shù)的定積分的一些基本方法、理論基礎(chǔ)；并且通過(guò) matlab 軟件 編程的 實(shí)現(xiàn)，應(yīng)用于實(shí)際生活中。數(shù)值積分原則上可以用于計(jì)算各種被積函數(shù)的定積分，無(wú)論被積函數(shù)是解析解形式還是數(shù)表形式，其基本原理都是用多項(xiàng)式函數(shù)近似代替被積函數(shù)，用多項(xiàng)式的積分結(jié)果近似代替對(duì)被積函數(shù)的積分。而利用插值多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造數(shù)值求積公式是最常用的一種方法。 一、 求積公式的推導(dǎo) 在積分區(qū)間 [, ]ab 上取有限個(gè)點(diǎn) 01 na x x x b? ? ? ? ?，作 ()fx的 n 次插值多項(xiàng)式0( ) ( ) ( )nn k kL x f x l x? ?，其中， ( )( 0,1, , )kl x k n? 為 次插值基函數(shù)。則稱該求積公式為 插值型求積公式。為了便 于計(jì)算與應(yīng)用，常將積分區(qū)間的等分點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)，這樣構(gòu)造出來(lái)的插值型求積公式就稱為 牛頓 科特斯（ NewtonCotes）求積公式。令 x a th?? ，則當(dāng) ? ?,x ab?時(shí)， ? ?0,tn? ，于是 111( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )nnnx a th h t t t t n?? ???? ? ? ? ? ? () 而 1 0 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n k k k k k k k k nx x x x x x x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? !( 1) ( ) !n n kh k n k?? ? ? 從而得 ? ? ? ?0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )! ( ) !nk nk hA t t t k t k t n d tk n k??? ? ? ? ? ? ? ?? ? 記 ? ? ? ?() 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )! ( ) !nk nnkC t t t k t k t n d tk n k n??? ? ? ? ? ? ? ?? ? () 則 ()() nkkA b a C?? 重慶郵電大學(xué)本科 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 故求積公式 () 可寫成 ()0( ) ( ) ( )nb nkka kf x d x b a C f x??? ?? () 這就是牛頓 科特斯求積公式，其中 ()nkC 稱為科特斯系數(shù) 。而且當(dāng) n 較大時(shí)，由于Runge 現(xiàn)象，收斂性也無(wú)法保證。 （ 4） 當(dāng) n ? 7 時(shí)，牛頓 科特斯公式是穩(wěn)定的 。我們知道牛頓 科特斯求積公式是一個(gè)插值型數(shù)值求積公式，當(dāng)用插值多項(xiàng)式 ()nLx代替 ()fx進(jìn)行積分時(shí)，其截?cái)嗾`差 ??Rf即積分真值 I 和近似值之差，推導(dǎo)如下 重慶郵電大學(xué)本科 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 5 ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b bnna a a aR f I f x dx f x dx L x dx f x L x dx? ? ? ? ? ?? ? ? ?， 由插值多項(xiàng)式的誤差估計(jì)可知 ，用 n 次拉格朗日多項(xiàng)式 ()nLx逼近函數(shù)時(shí)產(chǎn)生的誤差為 ( 1 )1()( ) ( ) ( )( 1 ) !nbnna ff x L x x d xn ? ????? ?? () 其中1 0( ) ( ) , ( , )niinx x x a b??? ??? ? ? ?。常用的是下面介紹的幾種低次多項(xiàng)式。也就是說(shuō)，只有當(dāng)被積函數(shù)是一次多項(xiàng)式時(shí)，梯形求積公式才是準(zhǔn)確的。 它的幾何意義是：用過(guò) 3 個(gè)點(diǎn) ( , ( ))a f a ， ( , ( ))22a b a bf??， ( , ( ))b f b 的拋物線和 xa? ， xb? 構(gòu)成的曲邊梯形面積，近似地代替了被積函數(shù) ()fx形成的曲邊和 xa? ， xb? 構(gòu)成的曲 線梯形面積。由于 辛浦生 求積公式是用二次多項(xiàng)式逼近被積函數(shù)推得的，原則上它的代數(shù)精度為 ，重慶郵電大學(xué)本科 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 根據(jù) 定理 ，它的 代數(shù)精度為 3 過(guò) ( , ( ))a f a ， ( , ( ))22a b a bf??和 ( , ( ))b f b 3 個(gè)點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè) ()fx的三次Lagrange 插值多項(xiàng)式 3()Lx,且使3 ( ) ( )22a b a bLf??? ??。 定義 在牛頓 科特斯求積公式中，如果取 4n? 時(shí)，牛頓 — 科特斯公式為 ? ?0 1 2 3 4( ) 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( )90ba baf x d x f x f x f x f x f x?? ? ? ? ?? () 稱 式 () 為 科特斯求積公式。一個(gè)數(shù)值求積公式的代數(shù)精度越高，表示用它求數(shù)值積分時(shí)所需逼近被積函數(shù)的多項(xiàng)式次數(shù)越高。當(dāng) ()fx為 n 次多項(xiàng)式時(shí)， ( 1)( ) 0nf ?? ? ( , )ab?? 牛頓 科特斯求積公式的代數(shù)精度至少等于 n 。為此，設(shè) 1 , ( 0 , 1 , 2 )iix x h i n? ? ? ?，令 ? ?, 0 , ,x a th t n d x h d t? ? ? ?， 于是 101 0( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2) ( )bn nna x x x x x x dx h t t t t n hdt?? ? ? ? ? ? ??? 由于 n 為偶數(shù)，不妨設(shè) 2nk? ， k 為正整數(shù)，則 ? ?0,2tk? ，于是 200( 1 ) ( 2) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 )nkt t t t n hd t t t t k t k t k t k dt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???再引進(jìn)變換 u t k?? ，則 t u k??， utdd? ， ? ?,u k k?? ， 代入上式右側(cè) ， 得出 0 ( 1 ) ( 2 ) ( )n t t t t n d t? ? ?? 重慶郵電大學(xué)本科 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 9 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )k k u k u k u u u u k u k du?? ? ? ? ? ? ? ? ??2 2 2 2 2( 1 ) ( ( 1 ) ) ( )k k u u u k u k du?? ? ? ? ?? 最后的積分中被積函數(shù)是奇函數(shù)，所以積分結(jié)果等于零，定理 得證 。但縮小步長(zhǎng)等于增加節(jié)點(diǎn)，亦即提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)。理論上已經(jīng)證明，當(dāng) n??時(shí)，牛頓 科特斯 公式所求得的近似值不一定收斂于積分的準(zhǔn)確值，而且隨著 n的增大，牛頓 科特斯公式是不穩(wěn)定的。為了提高計(jì)算精度，可考慮對(duì)被積函數(shù)用分段低次多項(xiàng)式插值，由此導(dǎo)出復(fù)化求積公式。 以梯形面積近似曲邊梯 形面積，即用梯形公式求小區(qū)間上積分的近似值。定積分存在定理表明，只要被積函數(shù)連續(xù)，當(dāng)小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于零時(shí)，小梯形面積之和即就趨于曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值，即定積分的準(zhǔn)確值。記為 NT 當(dāng) N?? 時(shí)， 1011 [ ( ) ( ) ]2 NNN k kkkT f x h f x h???? ? ??? 1 [ ( ) ( ) ] ( )2 b b ba a af x d x f x d x f x d x??? ? ? 即 NT 收斂于 ()ba f x dx? 如果 (2)( ) [ , ]f x C a b? ， 則在小區(qū)間 1[ , ]kkxx? 上，梯形公式的截?cái)嗾`差為 1 31( ) [ ( ) ( ) ] ( )2 12kkx k k kxhhf x dx f x f x f ?? ? ??? ? ? ?? 1( , )k k kxx? ?? 因此 3 10( ) ( ) ( )12NbT N ka khR f f x d x T f ?????? ? ? ? ?? 因?yàn)?()f ??? 區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù)，由介值定理知存在 [ , ]k ab? ? ，使得 101( ) ( )N kkffN?????? ??? ? 從而有 3 2()( ) ( ) ( ) ( )12 12bTNa h b aR f f x dx T Nf h f????? ??? ? ? ? ? ?? () 這就是復(fù)化梯形公式的 截?cái)嗾`差 。設(shè)計(jì)算函數(shù)值 ()kfx 時(shí)產(chǎn)生的誤差為 ( 0,1, , )k kN? ? ，則用 式 () 計(jì)算結(jié)果的誤差為