經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)與條件收斂-在線瀏覽
2024-11-02 12:45本頁面
【正文】 ?nnnnnn uu ??????? ??111 )1()1( 或定理 1 萊布尼茨定理 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件 : ( ⅰ ) ),3,2,1(1????nuunn。( ⅱ ) 0l im ???nnu , 則級(jí)數(shù)收斂 , 且其和1us ? , 其余項(xiàng) nr 的絕對(duì)值 1??nnur . )0( ?nu其中證明 nnnn uuuuuus 212223212 )()( ??????? ???又)()()( 21243212 nnn uuuuuus ??????? ???1u?,01 ??? nn uu?.l i m 12 uss nn ??? ?? ,0l i m 12 ???? nn u?,2 是單調(diào)增加的數(shù)列 ns,2 是有界的數(shù)列 ns)(l i ml i m 12212 ?????? ??? nnnnn uss,s?., 1uss ?? 且級(jí)數(shù)收斂于和),( 21 ????? ?? nnn uur余項(xiàng),21 ???? ?? nnn uur滿足收斂的兩個(gè)條件 , .1??? nn ur定理證畢 . 解 ）， ?? 21(111 1 ????? ? nunnu nn0lim ??? nn u又故 級(jí)數(shù)收斂 . .41312111的斂散性判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)例 ?????例 2 判別級(jí)數(shù) ??? ??2 1)1(nnnn的收斂性 . 解 2)1(2)1()1( ?????? xxxxx?)2(0 ?? x,1 單調(diào)遞減故函數(shù) ?x x ,1??? nn uu1limlim ?? ???? nnunnn又 .0? 原級(jí)數(shù)收斂 . 注意 必要條件； 思考 ：萊布尼茨判別法的條件其中之一不成立，結(jié)果如何？ 的方法 nn uu ?? 1；0)1 1 ??? nn uu ；） 12 1 ??nnuu.3 ）相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性二、絕對(duì)收斂與條件收斂 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)取絕對(duì)值 定義 : 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù) . 問題 : 如何研究任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問題？ 絕對(duì)收斂：??? 1.1nnu 收斂；??? 1nnu條件收斂：??? 1.2nnu 收斂；發(fā)散， ?????? 11 nnnn uu..31發(fā)散???nnu任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 定理 2 若 ??? 1nnu 收斂 , 則 ??? 1nnu 收斂 . 證明 ),2,1()(21 ???? nuuv nnn令,0?nv顯然 ,nn uv ?且,1收斂????nnv),2(11?? ??????nnnnn uvu?又????1nnu 收斂 .例 3 判別級(jí)數(shù) ??? 12s i nn nn的收斂性 . 解 ,1s i n22 nnn ?? ,112 收斂而 ??? n,s i n12????n nn 收斂故由定理知原級(jí)數(shù)收斂 . 定理 3 如果任意項(xiàng)級(jí)數(shù) ??????????121nnnuuuu 滿足條件 ?????nnn uu1lim （其中 ? 可以為 ?? ） 則當(dāng) 1?? 時(shí)，級(jí)數(shù) ??? 1nnu 收斂，且絕對(duì)收斂； 當(dāng) 1?? 時(shí)，級(jí)數(shù) ??? 1nnu 發(fā)散 例 4 判別下列級(jí)數(shù)的收斂性 : ( 1 ) ??? 0 !nnnx。 ( 3 ) nnxnn??????1!)1()1( ??? ? 解 01||lim||!)!1(||limlim)1( 11 ?????? ???????? nxxnnxuunnnnnnn則此級(jí)數(shù)對(duì)一切 )( ?????
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