【正文】 kf x xk ?? ? ? ?? ?思考題 3 求曲線 4?xy ， 1?y ， 0?x 所圍成的圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積 .思考題 3解答 xyo?????14yxy交點(diǎn) ),1,4(立體體積 21π dyV x y??? ?2116π d yy??? ????????????116y .16??1?y一、 填空題： 1 . 由曲線eyeyx?? ,及y軸所圍成平面區(qū)域的面積是_____ _________ . 2. 由曲線 23 xy ??及直線xy 2?所圍成平面區(qū)域的面積是 ____ _ . 3. 連續(xù)曲線,)( xfy ?直線 ax ? ， bx ?軸及 x所圍圖形軸繞 x旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積 V = _ _____ ____ ，軸繞 y旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積 V = _ _____ ______ ； 4.( ) dbav f x x??常用來表示 ____________ ______ 立體的體積； 5 . 拋物線axy 42?及直線)0(00?? xxx所圍成的圖形軸繞 x旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積 _____ _ . 練 習(xí) 題 ！ 二、 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積： 1.xy 1? 與直線 xy ? 及 2?x 。 xyo)( xfy ?a b二、平面圖形的面積 x xx ??第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[ , d ]x x x? ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量 A? 的近似值記作 d A ； 如何用元素法分析？ d A ＝ ？ ， xyo)( xfy ?a b二、平面圖形的面積 x xx ??如何用元素法分析？ ? ? xxfA ???第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[ , d ]x x x? ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量 A? 的近似值，記作 d A ； xyo)( xfy ?a b二、平面圖形的面積 x xx ??? ?ddA f x x＝如何用元素法分析？ 第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[ , d ]x x x? ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量 A? 的近似值，記作 d A ； xyo)( xfy ?a b第二步：寫出面積 表達(dá)式。 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用。一、定積分的元素法 二、平面圖形的面積 第七節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用 三、旋轉(zhuǎn)體的體積 四、平行截面面積已知的 立體的體積 五、小結(jié) 回顧 曲邊梯形求面積的問題 ( ) dbaA f x x? ?一、定積分的元素法 曲邊梯形由連續(xù)曲線)( xfy ? )0)(( ?xf 、x 軸與兩條直線 ax ? 、bx ? 所圍成。 a b x y o )( xfy ?面積表示為定積分的步驟如下 （ 1 ）把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個(gè)長度為ix?的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為 n 個(gè)小窄曲邊梯形，第 i 個(gè)小窄曲邊梯形的面積為iA?，則 ????niiAA1. （ 2 ）計(jì)算 iA? 的近似值 iii xfA ??? )(? ii x???（ 3）求和，得 A的近似值 .)(1iinixfA ?? ???（ 4）求極限，得 A的精確值 iinixfA ?? ???)(l i m10?? ( ) dba f x x? ?a b x y o )(xfy ?提示 若用 A? 表示任一小區(qū)間],[ xxx ?? 上的窄曲邊梯形的面積，則 ? ?? AA ，并取 ( ) dA f x x?? ，于是 ( ) dA f x x? ? l i m ( ) dA f x x? ?( ) d .ba f x x? ?x dxx?dA面積元素 當(dāng)所求量 U 符合下列條件：（ 1 ） U 是與一個(gè)變量 x 的變化區(qū)間 ? ?ba , 有關(guān)的量； （ 2 ） U 對(duì)于區(qū)間 ? ?ba , 具有可加性，就是說，如果把區(qū)間 ? ?ba , 分成許多部分區(qū)間，則 U 相應(yīng)地分成許多部分量，而 U 等于所有部分量之和； （ 3 ）部分量 iU? 的近似值可表示為 ii xf ?)( ? ；就可以考慮用定積分來表達(dá)這個(gè)量 U 元素法的一般步驟： 1 ) 根據(jù)問題的具體情況，選取一個(gè)變量例如 x 為積分變量，并確定它的變化區(qū)間 ],[ ba ； 2 ) 設(shè)想把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個(gè)小區(qū)間，取其中任 一小區(qū)間并記為 [ , d ]x x x? ，求出相應(yīng)于這 小區(qū)間的部分量 U? 的近似值 . 如果 U? 能近 似地表示為 ],[ ba 上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在 x 處的 值 )( xf 與 d x 的乘積，就把 ( ) df x x稱為量 U 的元素且記作 d U ，即 d ( ) dU f x x? ； 3 ) 以所求量 U 的元素 ( ) df x x為被積表達(dá)式，在 區(qū)間 ],[ ba 上作定積分，得 ( ) dbaU f x x? ? ，即 為所求量 U 的積分表達(dá)式 . 這個(gè)方法通常叫做 元素法 ． 應(yīng)用方向： 平面圖形的面積，體積。其他應(yīng)用。 ( ) dbaA f x x? ?二、平面圖形的面積 x xx ??如何用元素法分析？ ? ?ddA f x x＝xyo)(1 xfy ?)(2 xfy ?a b二、平面圖形的面積 x xx ??第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[ , d ]x x x? ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量 A? 的近似值，記作 d A ； 如何用元素法分析？ d A＝ ？xyo)(1 xfy ?)(2 xfy ?a b二、平面圖形的面積 x xx ??如何用元素法分析？ ? ? ? ?? ?21ddA f x f x x?＝第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[ , d ]x x x? ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量 A? 的近似值，記作 d A ； xyo)(1 xfy ?)(2 xfy ?a b21[ ( ) ( ) ] dbaA f x f x x???二、平面圖形的面積 x xx ??第二步：寫出面積 表達(dá)式。 2. ?y 2x 與直線 xy ? 及 xy 2? . 三、 曲線 2xy ? 與它兩條相互垂直的切線所圍成平面圖形的面積 S ，其中一條切線與曲線相切于點(diǎn) ),( 2aaA ， 0?a ，求 a 為多少時(shí)，面積 S 最小 . 四、 拋物線 342 ???? xxy 及其在點(diǎn) )3,0( ? 和 )0,3( 處 的切線所圍成的圖形的面積 . 五、 位于曲線xey ? 下方，該曲線過原點(diǎn)的切線的左方以 軸及 x 上方之間的圖形的面積 . 六、 由拋物線 axy 42? 與過焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形面積的最小值 . 七、求222ayx ?? 繞 )0( ???? abbx 旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積 . 八、 有一截錐體，其上，下底均為橢圓，橢圓的軸長分別為 和BA 2,2 ba 2,2 , h高為 ，求這截錐體的體積 . 九、 直線 baxy ?? 與直線 0?x ， 1?x 及 0?y 所圍 成梯形面積等于 A ，試求 ba , 使這個(gè)梯形 軸繞 y