反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e-在線瀏覽
2025-06-16 04:15本頁(yè)面
【正文】 aag x x f x x? ? ? ???則 當(dāng) 收 斂 時(shí) 亦 收 斂 。證 22( ) ( )( ) ( ) ,2f x g xf x g x ?? 而由于 ( i i ) 0 , ( ) d ( ) daac g x x f x x? ? ? ?? ??若 則 由 收 斂 可 得 收 斂 。推論 2 設(shè) f 是定義在 上的非負(fù)函數(shù) , 在任何 [ , )a ??[ , ]au有 限 區(qū) 間 上 可 積 .() 1,()fxgx ?)i( 1 , 0 , ( ) dap f x x? ?? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) 收 斂 。 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別 內(nèi)容大都是羅列出一些基本結(jié)論 , 并舉 分的性質(zhì)與收斂判別相類似 . 因此本節(jié) 例加以應(yīng)用 , 而不再進(jìn)行重復(fù)論證 . 定理 （瑕積分收斂的柯西準(zhǔn)則） 21 2 1( ) d ( ) d ( ) d .b b uu u uf x x f x x f x x ?? ? ?? ? ?( ) d ( )ba f x x a?瑕 積 分 瑕 點(diǎn) 為 收 斂 的 充 要 條 件 是證 ( ) ( ) d , ( , ) , ( ) dbbuaF u f x x u a b f x x????設(shè) 則l i m ( ) .ua Fu??收 斂 的 充 要 條 件 是 存 在 由 函 數(shù) 收 斂 的1 2 1 2, ( , ) ( ) ( ) ,u u a a F u F u??? ? ? ? ?，120, 0, , ( , )u u a a? ? ?? ? ? ?任 給 存 在 當(dāng) 時(shí) ，柯西準(zhǔn)則，此等價(jià)于 0 , 0 ,??? ? ? ?21 2 1( ) d ( ) d ( ) d .b b uu u uf x x f x x f x x ?? ? ?? ? ?即性質(zhì) 1 1 2 1 2,f f x a k k?設(shè) 函 數(shù) 與 的 瑕 點(diǎn) 同 為1 1 2 2( ( ) ( ) ) d ,ba k f x k f x x?? 也 收 斂 且12, ( ) d ( ) d ,bbaaf x x f x x??為 任 意 常 數(shù) 若 和 都 收 斂 則1 1 2 2( ( ) ( ) ) dba k f x k f x x??1 1 2 2( ) d ( ) d .bbaak f x x k f x x????性質(zhì) 2 , ( , ) ,f x a c a b??設(shè) 函 數(shù) 的 瑕 點(diǎn) 若 則( ) d ( ) d ,bcaaf x x f x x?? 與 同 時(shí) 收 斂 或 同 時(shí) 發(fā) 散 且( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?性質(zhì) 3 , ( , ]f x a f a b?設(shè) 函 數(shù) 的 瑕 點(diǎn) 為 在 的 任 一, ( ) , ( ) d ,bau b u a f x x? ?閉 區(qū) 間 [] 上 可 積 則 收 斂 時(shí)( ) d , ( ) d ( ) d .b b ba a af x x f x x f x x?? ? ?也 收 斂 且定理 (非負(fù)函數(shù)瑕積分的判別法 ) ( , ] ( ) ,a b f x若 定 義 在 上 的 非 負(fù) 函 數(shù) 在 任 意 閉 區(qū) 間[ , ] ( ) , ( ) dbau b u a f x x? ?上 可 積 則 收 斂 的 充 要 條 件( , ] , ( ) d .buM u a b f x x M?? ?是 : 存 在 ， 對(duì) 任 意定理 (比較法則 ) ( , ] ,a b f g設(shè) 定 義 在 上 的 兩 個(gè) 非 負(fù) 函 數(shù) 與 瑕 點(diǎn) 同, [ , ] ( , ]x a u b a b??為 在 任 何 上 都 可 積 , 且 滿 足( ) ( ) , ( , ] .f x g x x a b??( ) d , ( ) d 。bbaac f x x g x x? ? ? ? ??時(shí) ， 與 收 斂 性 相 同( ii ) 0 ( ) d ( ) d 。1( ii) ( ) , 1 , ( ) d .()bp af x p f x xxa?? ? ?當(dāng) 時(shí) 發(fā) 散推論 2 ( , ] , ,f a b a設(shè) 非 負(fù) 函 數(shù) 定 義 在 上 為 瑕 點(diǎn) 且推論 3 ( , ] , ,f a b a設(shè) 非 負(fù) 函 數(shù) 定 義 于 為 瑕 點(diǎn) 且 在 任[ , ] ( , ] lim ( ) ( ) ,pxau b a b x a f x ???? ? ?何 上 可 積 . 若 則( i ) 0 1 , 0 ( ) dbap f x x?? ? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ， 收 斂 。I a a a先討論 當(dāng) 即 時(shí)它是定積分? ? ?討論反常積分例 3 ()a?把 反 常 積 分 寫 成解 ( ) ( ) .I a J a??110lim 1 ,1aaxxxx???????1 0 .ax當(dāng) 時(shí)它是瑕積分,瑕 點(diǎn)為 由于??1 1 . 9 0 1 1 ,pa? ? ? ?因 此 由 定 理 的 推 論 3, 當(dāng) 即, ( )Ia時(shí) 發(fā) 散 .( i i ) ( ) ,Ja再 討 論 它 是 無(wú) 窮 積 分 . 由 于0 , ( ) 1 1 , 0a I a p a a時(shí) 瑕 積 分 收 斂 。 2 1 , 1J a p a a?
醫(yī)療健康相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1