數(shù)學學年論文畢業(yè)論文：關于定積分一些重要性質(zhì)的討論-在線瀏覽
2024-07-24 01:41本頁面
【正文】 dxxgxf ))()(( 2 21???ba dxxg )(2 21? ???ba dxxf )(2 21 證明： ??? ?ba dxxgxfxf ))()()(( 2? dxxba f )(2? ?? dxba xgxf? ? )()( 2 ? ? ?dxxgxfxfba? ? )()()(? ???ba dxxf )(2 21 ??? ?ba dxxgxf ))()(( 2 21 ? ?dxxgxfxgba )()()( ?? ? ???ba dxxg )(2 21 ??? ?ba dxxgxf ))()(( 2 21兩式相加有： ?? dxba xgxf? ? )()( 2? ??? ?ba dxxgxf ))()(( 2 21? ???ba dxxf )(2 21+???ba dxxg )(2 21? ? ??? ?ba dxxgxf ))()(( 2 21???ba dxxg )(2 21? ???ba dxxf )(2 21 （ 3） 由許瓦茲不等式可以證明有些關系式的成立 設 f(x) 在 [a,b] 上連續(xù)可微， |f(x)| 的最大值為 M, 且 f(a)=0, 試證 :M2 ? ?dxba xf? ? )(( 2 5 證明： 對任意的 x ∈ [a ， b], 由 許 瓦 茲 不 等 式 , 都有? ?xa dttf ))(( 2= ? ?xa dttf )1).(( 2? dtxa tf? ? ))(( 2 dtxa 12? ? dxba xf? ? ))(( 2dxba?12 =(ba) dxba xf? ? ))(( 2 而 ? ?xa dttf ))(( 2= ))()(( 2afxf ? = )(2 xf 所以 )(2xf ?(ba) dxba xf? ? ))(( 2 上面不等式對一切 x∈ [a， b]成立，所以 max? )(2 xf , x∈ [a， b] ? ? (ba) dxba xf? ? ))(( 2 即 : M2 ? (ba) dxba xf? ? ))(( 2 積分第一中值定理 : 設 f(x),g(x) 在 [a,b]上連續(xù) ,g(x)在 [a,b]上不變號，則 ? 存在 y∈ [a， b] ，使：?ba dxxgxf )()( =f(? )?ba dxxg )( 證明過程參考華東師范大學數(shù)學系編著《數(shù)學分析》上冊。 dxxf )(0??=0, xdxxf cos)(0??=0 試證 ： 在（ 0， ? ）至少存在兩不同點 y1， y2，使 f(y2)=f(y2)=0 證明 令 F(x)= dttfx )(0?，則 F(0)=F(? )=0 而 xdxxf cos)(0?? =F(x)cosx| ?0 +??0 sin)( xdxxF =??0 sin)( xdxxF =F(y)siny=0,y?(0,? ) 推出 F(y)=0(若僅有 y?(0,? ),就不能推出 F(y)=0 , 因 sin0=sin? =0),由 F(0)=F(y)=F( ? )=0,對 F(x)在 [0,y],及 [y,? ]上應用羅爾中值定理得 ：存在 y1? [0,y],y2?[y,? ] ，使 f(y1)=f(y2)=。聯(lián)想到：在級數(shù)中處理好區(qū)域內(nèi)不滿足格林公式或高斯公式條件的個別點，都是解決某些問題的關鍵。 例 6 試求 f(x)=sinx 在 [0, ? ] 的平均值。 （ 1） 當積分的被積函數(shù) f(x)是連續(xù)函數(shù)時，通過拉格朗日中值定理直接證明第一中值成立也是十分容易的。 （ 2） 如果在滿足 fˊ (x)于 [a,b]連續(xù)的條件下，我們又可以通過第一中值定理來證明拉格朗日中值定理成立。 （ 3） 許多命題的證明既可以用積分值定理來證明，又可以用拉格朗日中值定理或羅爾定理來證明。 ),( ba? ,試證??nlim dxfnxnx nx)(1.? ?。 ) 法一 對積分 dx
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