題目選修ⅱ概率與統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)歸納法-在線瀏覽
2025-07-25 22:55本頁(yè)面
【正文】 統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)歸納法高考要求 1掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，熟練表達(dá)數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程2對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識(shí)不斷深化 3掌握數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：①證恒等式；②整除性的證明；③探求平面幾何中的問(wèn)題；④探求數(shù)列的通項(xiàng)；⑤不等式的證明知識(shí)點(diǎn)歸納 1 歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法特點(diǎn)：特殊→一般2 不完全歸納法: 根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法 3 完全歸納法: 把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法4數(shù)學(xué)歸納法:對(duì)于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來(lái)證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k(k206。N*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法5 數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0，如果當(dāng)n=n0時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n0，k∈N*)時(shí)，命題成立(這時(shí)命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，…，命題都成立6用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：(1)證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確 數(shù)學(xué)歸納法被用來(lái)證明與自然數(shù)有關(guān)的命題: 遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉 題型講解 例1 比較2n與n2的大?。╪∈N *）分析：比較兩數(shù)（或式）大小的常用方法本題不適用，故考慮用歸納法推測(cè)大小關(guān)系，再用數(shù)學(xué)歸納法證明解：當(dāng)n=1時(shí)，21＞12，當(dāng)n=2時(shí)，22=22，當(dāng)n=3時(shí)，23＜32，當(dāng)n=4時(shí)，24=42，當(dāng)n=5時(shí)，25＞52，猜想：當(dāng)n≥5時(shí)，2n＞n2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=5時(shí)，25＞52成立（2）假設(shè)n=k（k∈N *，k≥5）時(shí)2k＞k2，那么2k+1=2（n2－12）+2（n2－22）+…+n（n2－n2）=an4+bn2+c對(duì)一切正整數(shù)n成立?證明你的結(jié)論分析：先取n=1，2，3探求a、b、c的值，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)一切n∈N*，a、b、c所確定的等式都成立解：分別用n=1，2，3代入解方程組下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，由上可知等式成立。［（k+1）2－12］+2［（k+1）2－22］+…+k［（k+1）2－k2］+（k+1）［（k+1）2－（k+1）2］=1（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）=k4+（－）k2+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）=（k+1）4－（k+1）2∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立由（1）（2）得等式對(duì)一切的n∈N*均成立
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