數(shù)學(xué)歸納法證明不等式知識(shí)歸納課件人教a選修-在線瀏覽
2025-03-04 08:47本頁(yè)面
【正文】 a2中至少有一個(gè)為 0 ，則11ba22ba≤ a1b1＋ a2b2成立； 若 a1， a2均不為 0 ，又 b1＋ b2＝ 1 ，可得 b2＝ 1 － b1，于是 在 ① 中令 x ＝a1a2， r ＝ b1，可得 (a1a2) b 1 ≤ b1112ba? ≤ a1b1＋ a2(1 － b1) ，亦即11ba22ba≤ a1b1＋ a2b2. 綜上，對(duì) a1≥ 0 ， a2≥ 0 ， b1， b2為正有理數(shù)且 b1＋ b2＝ 1 ，總有11ba22ba≤ a1b1＋ a2b2. ② ( 3) ( 2) 中命題的推廣形式為 設(shè) a1， a2， … ， an為非負(fù)實(shí)數(shù)， b1， b2， … ， bn為正有理數(shù)． 若 b1＋ b2＋ … ＋ bn＝ 1 ，則11ba22ba…nbna≤ a1b1＋ a2b2＋ … ＋ anbn. ③ 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： ( 1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， b1＝ 1 ，有 a1≤ a1， ③ 成立． ( 2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ k 時(shí)， ③ 成立，即若 a1， a2， … ， ak為非負(fù)實(shí)數(shù)， b1， b2， … ， bk為正有理數(shù)， 且 b1＋ b2＋ … ＋ bk＝ 1 ，則 11ba22ba… kbka≤ a1b1＋ a2b2＋ …＋ akbk. 當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，已知 a1， a2， … ， ak， ak ＋ 1為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1， b2， … ， bk， bk ＋ 1為正有理數(shù)， 且 b1＋ b2＋ … ＋ bk＋ bk ＋ 1＝ 1 ， 此時(shí) 0 ＜ bk ＋ 1＜ 1 ，即 1 － bk ＋ 1＞ 0 ，于是 11ba22ba… kbkaa 11b kk??＋ 1 ＝ ( 11ba22ba… kbka) a 11b kk?? ＝ ( a a … a )1 － bk ＋ 1a 11b kk??. 因b11 － bk ＋ 1＋b21 － bk ＋ 1＋ … ＋bk1 － bk ＋ 1＝ 1 ，由歸納假設(shè)可得 a a … a ≤ a1b21 － bk ＋ 1＋ … ＋ak (1 － bk ＋ 1)
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