排列組合與二項(xiàng)式定理復(fù)習(xí)教材-在線瀏覽
2025-07-25 18:58本頁(yè)面
【正文】 類)若第一個(gè)為老師則有。另一類是首位不為1, 000大.解法二:(排除法)比13 000小的正整數(shù)有個(gè),所以比13 000大的正整數(shù)有＝114個(gè).17. 求證:.18. 學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序,除第1個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目已確定外,4個(gè)音樂(lè)節(jié)目要求排在第2,5,7,10的位置,3個(gè)舞蹈節(jié)目要求排在第3,6,9的位置,2個(gè)曲藝節(jié)目要求跑在第4,8的位置,共有多少種不同的排法? 組合一、高考要求:理解組合的意義,掌握組合數(shù)的計(jì)算公式和性質(zhì),并能用它解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.二、知識(shí)要點(diǎn):1. 一般地,從n個(gè)不同元素中,任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.2. 一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)表示.3. 組合數(shù)公式:,其中,且m≤n.組合數(shù)公式還可以寫成:.4. 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):。⑵ 。3奇2偶有。有4名青年能勝任德語(yǔ)翻譯工作(其中有1名青年兩項(xiàng)工作都能勝任),現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)一項(xiàng)任務(wù),其中3名從事英語(yǔ)翻譯工作,2名從事德語(yǔ)翻譯工作,則有多少種不同的選法？解:我們可以分為三類:① 讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事英語(yǔ)翻譯工作,有。③ 讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年不從事任何工作,有. 所以一共有++＝42種方法.例4:甲、乙、丙三人值周,從周一至周六,每人值兩天,但甲不值周一,乙不值周六,問(wèn)可以排出多少種不同的值周表 ？解法一:(排除法)解法二:分為兩類:一類為甲不值周一,也不值周六,有。第二步將5個(gè)“不同元素(書)”,一共有＝1800種方法. 變題1:6本不同的書全部送給5人,有多少種不同的送書方法？變題2: 5本不同的書全部送給6人,每人至多1本,有多少種不同的送書方法？ 變題3: 5本相同的書全部送給6人,每人至多1本,有多少種不同的送書方法？ 答案:1.。 3..例6:身高互不相同的7名運(yùn)動(dòng)員站成一排,甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種？解:(插空法)現(xiàn)將其余4個(gè)同學(xué)進(jìn)行全排列一共有種方法,再將甲、乙、丙三名同學(xué)插入5個(gè)空位置中(但無(wú)需要進(jìn)行排列),一共有＝240種方法.例7:⑴ 四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中,一共有多少種不同的放法？⑵ 四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中且恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？解: ⑴根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理:一共有種方法.⑵(捆綁法)第一步從四個(gè)不同的小球中任取兩個(gè)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素有種方法,＝144種方法.四、歸納小結(jié):如果兩個(gè)組合中的元素完全相同,那么不管元素的順序如何,它們是相同的組合。+ = B. 4 D. A 方法二:我們將內(nèi)科、外科醫(yī)生分別當(dāng)作一組有序?qū)崝?shù)對(duì)的前后兩實(shí)數(shù),則按題意組隊(duì)方式可有:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)四種,故共有+=736種.12. 九張卡片分別寫著數(shù)字0,1,2,…,8,從中取出三張排成一排組成一個(gè)三位數(shù),如果6可以當(dāng)作9使用,問(wèn)可以組成多少個(gè)三位數(shù)？解:可以分為兩類情況:① 若取出6,則有種方法。不需要考慮元素順序,屬組合問(wèn)題.三、典型例題:例1:完成下列選擇題與填空題:(1)有三個(gè)不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,則不同的投法有 種. (2)四名學(xué)生爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍,獲得冠軍的可能的種數(shù)是( ) (3)有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽,①每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽,則有不同的參賽方法有 。③每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競(jìng)賽,每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加,則不同的參賽方法有 .解析 (1)完成一件事是“分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行,“投四封信”這件事分四步完成,每投一封信作為一步,每步都有投入三個(gè)不同信箱的三種方法,因此:N=3333=34=81,故答案選A.本題也可以這樣分類完成,①四封信投入一個(gè)信箱中,有C31種投法。A22+C42③四封信投入三個(gè)信箱,有兩封信在同一信箱中,有C42A22+C42C22)+C42②競(jìng)賽項(xiàng)目可以挑學(xué)生,而學(xué)生無(wú)選擇項(xiàng)目的機(jī)會(huì),每一項(xiàng)可以挑4種不同學(xué)生,共有N=43=64(種)。A33=24(種).注 本題有許多形式,一般地都可以看作下列命題:設(shè)集合A={a1,a2,…,an},集合B={b1,b2,…,bm},則f:A→B的不同映射是mn,f:B→≤m,則f:A→B的單值映射是:Amn.例2:同室四人各寫一張賀年卡,先集中起來(lái),然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,則四張賀年卡不同的分配方式有( ) 解法一 由于共四人(用1,2,3,4代表甲、乙、丙、丁四人),這個(gè)數(shù)目不大,化為填數(shù)問(wèn)題之后,可用窮舉法進(jìn)行具體的填寫:再按照題目要求檢驗(yàn),最終易知有9種分配方法.解法二 記四人為甲、乙、丙、丁,則甲送出的卡片可以且只可以由其他三人之一收到,故有3種分配方式。第二類:甲收到的不是乙送出的卡片,這時(shí),甲收到卡片的方式有2種(分別是丙和丁送出的).對(duì)每一種情況,丙、丁收到卡片的方式只有一種.因此,根據(jù)乘法原理,不同的分配方式數(shù)為 ３(1+2)=9.解法三 給四個(gè)人編號(hào):1,2,3,4,每個(gè)號(hào)碼代表1個(gè)人,人與號(hào)碼之間的關(guān)系為一對(duì)一的關(guān)系。其次,當(dāng)?shù)?號(hào)方格填寫的數(shù)字為i(2≤i≤4)時(shí),則填寫第i種方格的數(shù)字,有3種填法。②聯(lián)合使用.(2)將具體問(wèn)題抽象為排列問(wèn)題或組合問(wèn)題,是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步.(3)對(duì)于帶限制條件的排列問(wèn)題,通常從以下三種途徑考慮:①元素分析法:先考慮特殊元素要求,再考慮其他元素.②位置分析法:先考慮特殊位置的要求,再考慮其他位置.③整體排除法:先算出不帶限制條件的排列數(shù),再減去不滿足限制條件的排列數(shù).(4)對(duì)解組合問(wèn)題,應(yīng)注意以下三點(diǎn):①對(duì)“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愑?jì)算,是解組合題的常用方法.②是用“直接法”還是“間接法”解組合題,其原則是“正難則反”.③設(shè)計(jì)“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在.、組合題的常用基本策略與方法:(1)去雜法對(duì)有限制條件的問(wèn)題,先從總體考慮,.(2)分類處理某些問(wèn)題總體不好解決時(shí),常常分成若干類,:分類不重復(fù)不遺漏,即:每?jī)深惖慕患癁榭占?所有各類的并集為全集.(3)分步處理與分類處理類似,某些問(wèn)題總體不好解決時(shí),常常分成若干步,常常既要分類,又要分步,其原則是先分類,后分步.(4)插入法(插空法),然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間.(5)“捆綁”法把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素,然后再與其余“普通元素”全排列,最后再“松綁”.將特殊元素在這些位置上全排列,即是“捆綁法”.(6)窮舉法:將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一排列出來(lái).(7)探索法:對(duì)于復(fù)雜的情況,不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問(wèn)題,需仔細(xì)分析,從特殊到一般,或一般到特殊,探索出其中規(guī)律,再給予解決.(8)消序處理對(duì)均勻分組問(wèn)題的解決,一定要區(qū)分開是“有序分組”還是“無(wú)序分組”,若是“無(wú)序分組”,一定要清除均勻分組無(wú)形中產(chǎn)生的有序因素.(9)“住店”法解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類元素:一類元素可以重復(fù),“客”,能重復(fù)的元素看作“店”,再利用分步計(jì)數(shù)原理直接求解的方法稱為“住店”法.(10)等價(jià)命題轉(zhuǎn)換法將陌生、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、,也是解較
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