【正文】 都 可 以 放 在 這 里 , 共 有 種 不 同 的 放 法 .n n n 再 確 定 第 2 號 位 置 上 的 元 素 , 在 第 一 號 位 置 上 的 元 素 已 經(jīng) 確定 的 條 件 下 , 可 供 挑 選 的 只 有 1 個 元 素 , 所 以 共 有 1 = 2 +1 咱不 同 的 放 法 .再 確 定 第 3 號 位 置 上 的 元 素 , 在 1 號 ,2 號 位 置 上 的 元 素 已 確定 的 條 件 下 , 第 3 號 位 置 上 的 元 素 共 有 2 = 3 + 1 種 不 同 的 放 法 .nn 依 此 類 推 可 知 , 第 號 位 置 上 的 元 素 應 有 + 1 種 不 同 的放 法 . m n m? ? ? ? ? ?1 2 1A n n n n m? ? ? ? ?mn圖 123 示 意位 置填 法31 2n 1n? 2n?m1nm??? ? ,其 中 , 每 一 種 放 法 放 滿 個 空 位 置 就 得 到 一 個 排 列 于 是 根據(jù) 乘 法 原 理 從 個 不 同 的 元 素 中 , 每 次 取 出 個 不 同 元 素 的 排 列種 數(shù) 為mnm? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1mnmA n n n n m? ? ? ? ?個 因 式 1 2 3,這 就 是 說 從 個 不 同 的 元 素 中 , 每 次 取 出 個 元 素 的 排 列 種數(shù) 等 于 個 連 續(xù) 正 整 數(shù) 的 乘 積 , 其 中 最 大 的 正 整 數(shù) 是 .nmmn4377。第十二章 排列、組合與二項式定理 排列與組合的內(nèi)容是學習概率的預備知識，也是進一步學習數(shù)理統(tǒng)計、近世代數(shù)、組合數(shù)學等高等數(shù)學的基礎；由于內(nèi)容抽象，解法特殊，所以這部分內(nèi)容也是發(fā)展邏輯思維能力的很好題材 . 二項式定理是在初中乘法公式及組合數(shù)公式的基礎上學習的內(nèi)容，它與概率論中二項分布、微積分中求導公式的推導有著密切的聯(lián)系，是進一步學習數(shù)學時經(jīng)常用的基礎知識 . 第一節(jié) 加法原理與乘法原理 第二節(jié) 排列 第三節(jié) 組合 第四節(jié) 二項式定理 第一節(jié) 加法原理與乘法原理 在討論排列與組合之前 ,我們先介紹兩個基本原理，看下面的問題 . 例 1 從甲地到乙地，可乘坐火車、汽車或輪船中的任何一種，火車每日 1班，汽車每日 2班，輪船每日 3班，問從甲地到乙地，一日中共有多少種不同的走法？ 從甲地到乙地，可乘坐三類交通工具：火車、汽車或輪船，這三類乘坐方法互不關聯(lián)，使用其中任何一類都能獨立完成從甲地到達乙地，如圖121所示 . 圖 121 例 1中甲地到乙地的不同走法 汽 車火 車甲 乙輪 船解 因此，計算共有多少種不同走法，只需把這三類交通工具各自的班次數(shù)加起來，可得 :(2+3+1)種 =6種 答：從甲地到乙地共有 6種不同的走法 . 一般地，有以下原理 . 加法原理 ? ?,1 , 2 , , , ,ikn i k? 完 成 一 件 事 如 果 有 類 互 不 關 聯(lián) 的 方 法 每 類 方 法中 又 有 種 不 同 的 具 體 辦 法 使 用 其 中 一 種 辦 法 都能 獨 立 完 成 這 件 事 那 么 完 成 這 件 事 的 不 同 辦 法 共 有 :? ? ? ?21 種 121kn n n? ? ?(!) 加 法 原 理 實 質(zhì) 是 直 接 完 成 一 件 事 . 加 法 原 理 又 稱 分 類計 數(shù) 原 理 .從 甲 地 經(jīng) 乙 地 到 丙 地 , 甲 地 到 乙 地 可 乘 坐 汽 車 或 火 車 ,汽 車 每 日 2 班 , 火 車 每 日 1 班 , 而 從 乙 地 到 丙 地 每 日 有 3 班 輪 船 ,問 從 甲 地 到 丙 地 共 可 有 多 少 種 不 同 的 走 法 ? 例 2 由 已 知 從 甲 地 到 丙 地 要 分 兩 段 走 :? ?2 + 1 3 .?第 一 段 從 甲 地 到 乙 地 , 坐 汽 車 或 火 車 , 共 有 : 種 種,不 同 走 法 第 二 段 從 乙 地 到 丙 地 坐 船 共 有 3 種 不 同 的 走 法 .第 一 段 采 用 3 種 走 法 中 任 意 一 種 到 達 乙 地 后 , 要 去 丙 地 又有 3 種 走 法 可 以 選 擇 , 所 以 從 甲 地 經(jīng) 乙 地 到 丙 地 , 共 有 :3 3 種 =9 種 .?不 同 走 法 , 如 圖 122 所 示 .圖 122 例 2中甲地到乙地的不同走法 甲 乙 丙輪 船汽 車火 車解一 般 地 , 我 們 有 以 下 原 理 .乘法原理 ? ?1 , 2 , , ,i完 成 一 件 事 , 如 果 有 個 相 互 關 聯(lián) 的 步 驟 , 要依 次 完 成 這 些 步 驟 , 這 件 事 才 能 完 成 , 而 每 一 個 步 驟 又 有種 不 同 的 具 體 辦 法 去 完 成 那 么 完 成 這 件 事 的 不同 辦 法 共 有 :knik?? ?21 種 122kn n n(!) 乘 法 原 理 實 質(zhì) 是 分 步 配 合 完 成 . 乘 法 原 理 又 稱 分 步 計 數(shù)原 理 .( 1)( 2) 書 架 上 層 放 有 6 本 不 同 的 數(shù) 學 書 , 下 層 放 有 5 本 不 同 的語 文 書 . 從 中 任 取 一 本 書 , 有 多 少 種 不 同 的 取 法 ? 從 中 任 取 數(shù) 學 書 和 語 文 書 各 一 本 , 有 多 少 種 不 同 的 取 法 ? 例 3? ?2 ( 1)6 5 11 .N n n????1 完 成 從 書 架 上 任 取 一 本 書 這 件 事 有 兩 類 互 不 關聯(lián) 的 方 法 , 第 一 類 方 法 是 從 上 層 取 數(shù) 學 書 , 可 以 從 6 本 書 中 任 取一 本 , 有 6 種 方 法 。 第 二 類 方 法 是 從 下 層 取 語 文 書 , 可 以 從 5 本 書中 任 取 一 本 , 有 5 種 方 法 , 根 據(jù) 加 法 原 理 , 其 取 法 共 有 :=種 種:答 從 書 架 上 任 取 一 本 書 , 有 11 種 不 同 的 取 法 .解2.1(2) 完 成 從 書 架 上 任 取 數(shù) 學 書 和 語 文 書 各 一 本 這 件 事可 以 分 為 兩 個 步 驟 : 第 一 步 取 一 本 數(shù) 學 書 , 有 6 種 方 法 。 ( 2 ) 2 .36 計 算 (1) A A A?例 36 5 4 1 2 0 。 .8n+15 計 算 ( 1 ) ( 2 ) nA A n AA ??例 5( 1 ) 由 例 4得 : 7 6 55 5 58 8 7 8 7 6 3 3 6 。 ( 2 ) 3 , . 若 求nnA A A A n?? ? ?： ? ?111 1 1 ( 1) 17 16 15 5 4 , 。 1 ? 若 則 以 上 兩 等 式 成 立 嗎mnn n n nn n n nA n mA A A n A??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?( 2 ) 手 機 由 11 位 數(shù) 字 組 成 , 問 可 有 多 少 個 不 同 手 機 用 戶 ?答 案 答 案 0 2 3 4 5 6 7 8 n!n4. , 階 乘 即 為 全 排 列 階 乘 數(shù) 等 于 正 整 數(shù) 1 到 的 連 乘 積 . 這 個積 叫 的 階 乘 .nn1 2 6 24 120 720 5040 40320（單擊左鍵顯示答案） 第三節(jié) 組 合 一、組合的概念 例 1 飛行在北京 上海 廣州間的民用飛機，有多少種不同的票價？ 從北京、上海、廣州三個站中每次取出兩個站，不管哪一個是起點，票價都是一樣的，所以我們可把它看成是從三個站中每次取出兩個站，不管順序如何，把它們并成一組，共可并成多少種不同的組，就有多少種不同的票價 .因此， 北 京 , 上 海 間 ( 即 北 京 上 海 或 上 海 北