排列、組合與二項(xiàng)式定理-文庫(kù)吧資料
2025-05-17 00:32本頁(yè)面
【正文】 2 nn n n nnn nC C C C C?? ? ? ? ? ?? ? . 求 的 展 開(kāi) 式 及 通 項(xiàng) 公 式nab例 2解 ? ? ? ? nna b a b??? ? ???? ? ? ? ? ?2120 1 2 nn n n n nn n nC a C a b C a b C b??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 2 1 2 nn n n nnnn n nC a C a b C a b C b??? ? ? ? ? ?? ? ? ?+1通 項(xiàng) 公 式 rrr n r r n r rnnT C a b C a b??? ? ? ?93 .1 求 的 二 項(xiàng) 展 開(kāi) 式 中 的 的 系 數(shù)xxx??????例 3解 二 項(xiàng) 展 開(kāi) 式 的 通 項(xiàng)? ?9 9 299 1r+1 1rrr r r rT C x C xx????? ? ? ?????, 9 2 3 , 3 .根 據(jù) 題 意 得 rr? ? ?3,:因 此 的 系 數(shù) 是x? ? 3 39 9 8 71 843 2 1C ??? ? ? ? ???習(xí) 題 思考題： 課堂練習(xí)題： ? ? , 。 6 ,CC2726 根 據(jù) 題 意 , 第 一 組 和 第 三 組 都 是 7 個(gè) 隊(duì) , 比 賽 場(chǎng) 數(shù) 都 是第 二 組 個(gè) 隊(duì) , 比 賽 場(chǎng) 數(shù) 是 C 各 組 的 前 兩 名 共 個(gè) 隊(duì) 再 進(jìn) 行 單 循環(huán) 賽 時(shí) 還 要 比 賽 場(chǎng) 所 以 共 需 要 比 賽 的 場(chǎng) 數(shù) 是 :2 1 2 1 1 5 1 5 7 222227 7 6 6CCCC? ? ? ? ? ? ? ?解習(xí) 題 01。(2) 可 以 作 220 個(gè) 三 角 形 .解 有 20 個(gè) 隊(duì) 參 加 籃 球 賽 , 比 賽 時(shí) 先 分 成 三 組 , 第 一 組 7 個(gè) 隊(duì) ,第 二 組 6 個(gè) 隊(duì) , 第 三 組 7 個(gè) 隊(duì) , 每 組 都 進(jìn) 行 單 循 環(huán) 賽 ( 即 每 隊(duì) 都 要 與本 組 其 他 各 隊(duì) 比 賽 一 場(chǎng) ), 然 后 由 各 組 的 前 兩 名 共 6 個(gè) 隊(duì) 進(jìn) 行 單循 環(huán) 賽 , 共 需 要 多 少 場(chǎng) ?例 526。, , .24 四 個(gè) 字 母 , 每 次 任 取 兩 個(gè) 字 母 , 一 個(gè) 作 分 子 ,一 個(gè) 作 分 母 , 可 以 組 成 多 少 個(gè) 不 相 恒 等 的 分 數(shù) , 是 排 列 問(wèn) 題 ,記 作 而 從 中 任 取 兩 個(gè) 作 因 數(shù) 可 以 組 成 多 少 個(gè) 不 相 恒 等 的乘 積 是 組 合 問(wèn) 題 記 作a, b, c , dAC二、組合種數(shù)的計(jì)算公式 .從 個(gè) 不 同 的 元 素 中 每 次 任 取 個(gè) 元 素 的 組 合 與 元 素 的 排 列順 序 無(wú) 關(guān) , 所 以 可 以 把 從 n 個(gè) 不 同 的 元 素 中 每 次 任 取 m 個(gè) 元 素 的排 列 , 看 成 是 先 從 n 個(gè) 不 同 的 元 素 中 每 次 取 m 個(gè) 元 素 的 組 合 , 再對(duì) 任 取 的 m 個(gè) 元 素 進(jìn) 行 全 排 列 的 結(jié) 果 , 于 是 , 根 據(jù) 乘 法 原 理 可 有 :mmn n mnmA C A?,:于 是 可 以 得 到 ? ?.1 2 6 mm nnmACA??.:這 就 是 組 合 的 計(jì) 算 公 式 這 個(gè) 公 式 還 可 寫(xiě) 成? ? ? ?! 1 2 7!! mnnCm n m???三、組合的兩個(gè)性質(zhì) 性質(zhì) 1 1( ! , 1 .)2當(dāng) 用 性 質(zhì) 較 方 便m n mnnC C m n???證 ? ? ,由 公 式 127 可 得:等 式 左 邊 ? ?!!!mn nC m n m? ? ，等 式 右 邊 : ? ?! .!!nmn nC n m m? ? ?.所 以 有 m n mnnCC ??.7072 計(jì) 算 C例 2? ? :由 公 式 127 可 得27272 71 2556217072CC?? ? ??解 性質(zhì) 2 1 1m m mn n nC C C? ???(!化簡(jiǎn)、證明常用性質(zhì) 2.) 證 ? ? :由 公 式 127 可 得? ? ? ? ? ?1 !!! ! 1 ! 1 !mmnnnnCCm n m m n m?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?1 ! ! 1 !! 1 ! ! 1 !n m n m n n nm n m m n m? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ?? ? 11!! 1 !mnn Cm n m ??????1 1 .所 以 有 m m mn n nC C C? ???9799 .9699 計(jì) 算 CC?例 397 3 2 399 99 99 10 010 0 99 98C C C C C ??? ? ? ? ? ???9699 2 1解 平 面 上 有 12 個(gè) 點(diǎn) , 其 中 沒(méi) 有 3 點(diǎn) 在 同 一 條 直 線 上 , 問(wèn) : (1) 這 些 點(diǎn) 可 以 確 定 多 少 條 不 同 的 直 線 。 , 。??? ? ??解 各 是 一 種 票 價(jià) , 票 價(jià) 的 種 數(shù) 共 計(jì) 3 種 .這 類 問(wèn) 題 與 排 列 有 相 似 之 處 , 它 也 是 從 個(gè) 不 同 的 元 素 中 每次 取 出 個(gè) 不 同 的 元 素 , 但 與 排 列 的 區(qū) 別 是 : 取 出 的 個(gè) 元 素 不 是按 順 序 排 成 一 列 , 而 是 不 論 順 序 如 何 并 成 一 組 , 對(duì) 于 這 類 問(wèn) 題 ,給 出 以 下 定 義 .nmm定義 ? ? , , . .( ! )從 個(gè) 不 同 的 元 素 中 , 每 次 任 意 取 出 個(gè) 不 同 的 元 素m 不 管 順 序 如 何 并 成 一 組 叫 做 從 個(gè) 不 同 的 元 素 中 每 次取 出 個(gè) 元 素 的 一 個(gè) 組 合 所 有 不 同 的 組 合 的 種 數(shù) 記 作組 合 與 順 序 無(wú) 關(guān) .mnnmnnmC?:例 如 ( 1 ).。 北 京 , 廣 州 間( 即 北 京 廣 州 或 廣 州 北 京 )。 .。85A A AAA A A A? ? ?? ? ? ?? ?1( 2 ) 1 .n+1 n n n nA n A n A A n A?? ? ? ? ?解此 外 , 由 排 列 種 數(shù) 的 計(jì) 算 公 式 還 可 以 得 出 以 下 關(guān) 系 式 :? ? ? ?!! 125mnnAnm? ?:證 明 如 下? ? ? ?11mnA n n n m? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 3 2 111 1 3 2 1n m n mn n n m n m n m? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?!!nnm? ?? ?1 2 5 , : 0 ! 1 .為 了 使 公 式 在 時(shí) 也 成 立 我 們 規(guī) 定nm? ? ? 例 6 有 5面不同顏色的旗，每次可取 1面、 2面或 3面按不同順序掛在桿上就表示信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？ 25, 2 , , :AAA1535 用 一 面 旗 作 信 號(hào) 有 種 用 面 旗 作 信 號(hào) 有 種 用 3 面 旗作 信 號(hào) 有 種 根 據(jù) 加 法 原 理 所 求 的 信 號(hào) 的 種 數(shù) 是? ?1 2 35 5 5 .5+20+60 種 85 種A A A? ? ? ?:.答 一 共 可 以 得 到 85 種 不 同 的 信 號(hào)解三、重復(fù)排列 前 面 我 們 討 論 了 從 n 個(gè) 不 同 的 元 素 中 取 出 m 個(gè) 不 同 元 素 的 排列 問(wèn) 題 , 它 們 有 一 個(gè) 共 同 的 特 點(diǎn) , 就 是 所 取 的 元 素 一 旦 取 過(guò) 便 不能 再 重 復(fù) 取 出 . 但事實(shí)上，有此問(wèn)題中元素是允許重復(fù)選用的，例如編電話號(hào)碼，選取的數(shù)字就可以重復(fù)，允許元素重復(fù)用的排列問(wèn)題叫做 重復(fù)排列 . 在 重 復(fù) 排 列 中 , 位 置 共 有 個(gè) , 每 個(gè) 位 置 上 可 供 選 擇 的 元 素都 是 個(gè) , 因 此 , 利 用 乘 法 原 理 不 難 得
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