排列、組合與二項(xiàng)式定理(參考版)
2025-05-13 00:32本頁面
【正文】 21CC?? ? ??9 6 9 7 9 7 39 9 9 9 1 0 0 1 0 010 0 99 98 161700.3 2 1C C C C??? ? ? ? ???1 8 0 1 0 1 8 0 1 8 01 9 0 1 9 0 1 9 0 1 9 0 C C C? ? ? ?返 回 23662 . 6 + 1 + 6 + 2 1 3 3 0 2 0 6 3 .CC ? ? ? ? ?原 式 =課堂練習(xí)題解答： 返 回 課堂練習(xí)題解答： ? ?37 7 6 53. 35 , 353 2 1C ?????? 共 有 種 不 同 選 法 .返 回 課堂練習(xí)題解答： ? ?21484 . ( 1 ) 6 8 4 8 , 4 8 .CC ? ? ? ? 有 種 不 同 選 法1 2 2 1 3 3 34 8 4 8 4 1 2 8( 2 ) 1 6 4 1 6 4 .C C C C C C C? ? ? ? ?或? ?1 6 4 .? 至 少 有 一 名 女 生 選 法 有 種返 回 思考題解答： 0 0 1 1 2 2 2 01,( ) , ,( ) ( 0 , 1 , 2 , , )。 35 。= 由 于 兩 等 式 的 排 列數(shù) 都 成 立 , 所 以 這 兩 等 式 都 成 立 .n m n? ? ? ? ? ? ?? ? 11 ( 2 ) 1 0 .?位 置 數(shù)它 屬 于 重 復(fù) 排 列 計 算 公 式 = 元 素 個 數(shù) 個 用 戶返 回 思考題解答： ? ?1101!,.!!1: , .21 , 1 , .mmm nnn mmm n m m m mn n n n nnn n nA nCCA m n mC C m n C C CC C C n??????? ? ? ?? ? ?組 合 與 順 序 無 關(guān) 。 排 列 與 順 序有 關(guān) 。 全 排 列所 有 不 同 法 所 含 元 素 完 全 一 樣 , 只 是 元 素 排 列 的 順 序 不 完 全相 同 。 .nn n nC C C? ? ? 組 合 與 順 序 有 關(guān) 嗎 ? 用 什 么 符 號 表 示 ? 組 合 數(shù) 公 式 及 性 質(zhì)是 什 么 ? 填 出 : 思考題： 課堂練習(xí)題： 4 3 9 8 9 6 9 7 1 8 0 1 01 0 7 1 0 0 9 9 9 9 1 9 0 1 9 01 . : , , , , .C C C C C C C??計 算 1 2 3 4 5 66 6 6 6 6 62 . : .C C C C C C? ? ? ? ?計 算 3 . 7 , 3某 小 組 共 人 從 中 選 出 人 參 加 植 樹 勞 動 , 有 多 少 種 不同 選 法 ?4. 從 8 名 男 生 ,4 名 女 生 中 選 3 人 參 加 比 賽 :( 1 ) 2 ?( 2 ) 1 ?恰 有 名 女 生 的 選 法 有 多 少 種至 少 有 名 女 生 的 選 法 有 多 少 種答 案 答 案 答 案 答 案 答 案 第四節(jié) 二項(xiàng)式定理 一、二項(xiàng)式定理 我們知道 ? ? 2 222,a b a a b b? ? ? ?? ? 3 3 2 2 33 3 ,a b a a b a b b? ? ? ? ?,繼 續(xù) 做 乘 法 運(yùn) 算 可 以 得 到 :? ? 4 4 3 2 2 3 44 6 4a + b a a b a b a b b? ? ? ? ?? ? 5 5 4 3 2 2 3 4 55 1 0 1 0 5 ,a b a a b a b a b a b b? ? ? ? ? ? ?? ?,可 以 看 出 二 項(xiàng) 式 的 次 冪 的 展 開 式 的 各 項(xiàng) 是 有 規(guī)律 的 人 們 分 析 了 上 述 展 開 式 的 特 點(diǎn) 歸 納 出 以 下 命 題 :a b n?? ? ? ?0 1 1n n n r n r r n nn n n na + b C a C a b C a b C b n??? ? ? ? ? ? ? Z + 下 面 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 來 證 明 這 一 命 題 .? ? 10 1 1 111( 1) , ,n = a b a bC a C b a b? ? ? ?? ? ? ?證 明 當(dāng) 1 時 左 邊右 邊 命 題 成 立 .( 2 ) n = k 假 設(shè) 時 , 命 題 成 立 , 即? ? ? ?0 1 1k k k r k r r k kk k k ka b C a C a b C a b C b k??? ? ? ? ? ? ? ? Z + ? ?1 , , :當(dāng) 時 上 式 兩 邊 同 乘 以 則 得n k a b? ? ?? ? 1 0 1 1 10 1 1 1 1 k k k r k r r k kk k k kk r k r r k k k kk k k ka b C a C a b C a b C abC a b C a b C ab C b? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?利 用 組 合 公 式0 0 0 0111 1 ,和 可 知k k k kC C C C??? ? ?1 1 ,和 可 知k k k kk k k kC C C C? ? ?以 及 組 合 公 式 1 1r r rk k kC C C? ???:上 式 可 化 為? ?? ?1 0 1 1111 1 111 .k kkkkr k r r k kkka b C a C a bC a b C b k? ???? ? ? ???? ? ? ? ??? Z + ? ? ? ?2說 明 當(dāng) +1 時 , 命 題 也 成 立 . 由 1 和 可 以 斷 定 , 對 一切 正 整 數(shù) , 命 題 都 成 立 .n = kn通 常 , 這 個 式 子 :? ? ? ?0 1 1n n n r n r r n nn n n na + b C a C a b C a b C b n??? ? ? ? ? ? ? Z + 所表示的定理叫做 二項(xiàng)式定理 ，而等式右邊的多項(xiàng)式叫做 的 二項(xiàng)展開式 . ? ?nab?二、二項(xiàng)展開式的性質(zhì) ? ? nab ? 的 二 項(xiàng) 展 開 式 , 具 有 下 面 的 一 些 性 質(zhì) ：( 1 ) n 項(xiàng) 數(shù) : 共 +1 項(xiàng) . ( 2) anb n a bn 各 項(xiàng) 冪 指 數(shù) : 的 冪 指 數(shù) 從 起 逐 漸 依 次 減 小 1, 直 到 0 為止 , 的 冪 指 數(shù) 從 0 起 逐 項(xiàng) 依 次 增 加 1, 直 到 為 止 , 每 一 項(xiàng) 里 與 的指 數(shù) 的 和 等 于 二 項(xiàng) 式 的 指 數(shù) .( 3 ) 各 項(xiàng) 系 數(shù) : 由 第 一 項(xiàng) 起 , 各 項(xiàng) 系 數(shù) 依 次 為 :1 2 1, , , , , , ,0n 1 1 .r n nn n n n nC C C C C C???nnnnn 所 以 , 與 展 開 式 的 首 末 兩 項(xiàng) 距 離 相 等 的 兩 項(xiàng) 的 系 數(shù) 相 等 .(! 二 項(xiàng) 式 指 數(shù) 為 奇 數(shù) , 中 間 兩 項(xiàng) 的 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 相 等 且 最 大 ,+1 +1分 別 為 第 , +1 項(xiàng) , 為 偶 數(shù) , 中 間 一 項(xiàng) 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 最 大 .22即 第 +1 項(xiàng) .)21( 4) , ,n r rrC a b rT??rn 展 開 式 中 是 第 +1 項(xiàng) 叫 做 二 項(xiàng) 展 開 式 的 通 項(xiàng)記 作公 式 ? ?1 n r rrT C a b r n?? ? ? ?叫做 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式 . ,有 了 上 述 公 式 我 們 不 難 展 開 任 何 一 個 二 項(xiàng) 式 并 求 出 它 的某 個 指 定 的 項(xiàng) .(! 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 與 某 一 項(xiàng) 系 數(shù) 不 同 .) 1 2 nn n n n求 證 nC C C C? ? ? ? ?例 1 證明 在 展 開 式? ? 1 2 2 1 10 1 2n n nn n n n n n n nna b C a C a b C a b C a b C b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?1 , :中 設(shè) 即 得ab??12 0 1
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