排列組合二項式定理練習(xí)題(參考版)
2025-03-28 02:36本頁面
【正文】 22＝129，所以n＝8，所以通項為Tr＋1＝C(x)8r ＝， 故r＝6時，T7＝26Cx＝1 792x，所以不存在常數(shù)項，而存在一次項，為1 792x.題型二 運用賦值法求值【例2】(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，則n＝ ??；(2)已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若5a1＋2a2＝0，則a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝ . 【解析】(1)易知an＝1，令x＝0得a0＝n，所以a0＋a1＋…＋an＝30.又令x＝1，有2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋…＋an＝30，即2n＋1－2＝30，所以n＝4.(2)由二項式定理得，a1＝－C＝－n，a2＝C＝，代入已知得－5n＋n(n－1)＝0，所以n＝6，令x＝－1得(1＋1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝64.【點撥】運用賦值法求值時應(yīng)充分抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過一些特殊值代入構(gòu)造相應(yīng)的結(jié)構(gòu).【變式訓(xùn)練2】設(shè)(3x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7＋＋a2＋a4＋a6＋a8的值.【解析】令f(x)＝(3x－1)8，因為f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＋a8＝48，所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝＝27(1＋28).題型三 二項式定理的綜合應(yīng)用【例3】求證：46n＋5n＋1－9能被20整除.【解析】46n＋5n＋1－9＝4(6n－1)＋5(5n－1)＝4[(5＋1)n－1]＋5[(4＋1)n－1]＝20[(5n－1＋C5n－2＋…＋C)＋(4n－1＋C4n－2＋…＋C)]，是20的倍數(shù)，所以46n＋5n＋1－9能被20整除.【點撥】用二項式定理證明整除問題時，首先需注意(a＋b)n中，a，b中有一個是除數(shù)的倍數(shù)；其次展開式有什么規(guī)律，余項是什么，必須清楚.【變式訓(xùn)練3】，.【解析】＝(1－)6＝1＋6(－)1＋15(－)2＋…＋(－)6.因為T3＝C(－)2＝15(－)2＝ 06＜， ，所以從第3項起，以后的項都可以忽略不計.＝(1－)6≈1＋6(－)＝1－＝.總結(jié)提高(如常數(shù)項、有理項、二項式系數(shù)最大項等)，解決這些問題通常采用待定系數(shù)法，運用通項公式寫出待定式，再根據(jù)待定項的要求寫出n、r滿足的條件，求出n和r，再確定所需的項；、差問題的一個重要手段；，關(guān)鍵是進(jìn)行合理的變形，要注意余數(shù)的取值范圍.。(0≤r≤8，r∈Z).(1)若Tr＋1是常數(shù)項，則＝0，即16－3r＝0，因為r∈Z，這不可能，所以展開式中沒有常數(shù)項.(2)若Tr＋1是有理項，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)，又0≤r≤8，r∈Z，所以 r＝0,4,8，即展開式中有三項有理項，分別是T1＝x4，T5＝ x，T9＝ x2.【點撥】(1)把握住二項展開式的通項公式，還應(yīng)熟練掌握二項式的指數(shù)、項數(shù)、展開式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì)；(2)應(yīng)用通項公式求二項展開式的特定項，如求某一項，含x某次冪的項，常數(shù)項，有理項，系數(shù)最大的項等，一般是應(yīng)用通項公式根據(jù)題意列方程，在求得n或r后，再求所需的項(要注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系)；(3) 注意區(qū)分展開式“第r＋1項的二項式系數(shù)”與“第r＋1項的系數(shù)”.【變式訓(xùn)練1】若(x＋)n的展開式的前3項系數(shù)和為129，
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