高二數(shù)學(xué)排列與組合、二項(xiàng)式定理(參考版)
2024-11-16 17:11本頁面
【正文】 2r ＋ 1≤ Cr82r － 1≤ Cr82r， Cr ＋ 18 ， 令8 － r2－ 2 r ＝32， 則 r ＝ 1 ，故展開式中含 的項(xiàng)為 T 2 ＝－ 16 . 23x 23xrrx 228 ??( 3 ) 設(shè)展開式中的第 r 項(xiàng)，第 r ＋ 1 項(xiàng)，第 r ＋ 2 項(xiàng)的系數(shù)絕對值分別為 Cr － 18( －2x2 )r ＝ Cr8 ( － 2)2，解得 n ＝ 8. ( 1 ) 令 x ＝ 1 得各項(xiàng)系數(shù)的和為 (1 － 2)8＝ 1. 23x( 2 ) 通項(xiàng)公式 T r ＋ 1 ＝ Cr8 ( － 2)2， 則有 C4n ( 3 x )7 － r( －13x2)r＝ ( － 1)rCr737 － r 令21 － 5 r3＝－ 3 ，得 r ＝ 6 ， 所以展開式中含1x3 的系數(shù)為 ( － 1)6C6737 － 6＝ 2 1 . 21 .3521 rx?三、解答題 9 ．一個(gè)口袋內(nèi)裝有 4 個(gè)不同的紅球， 6 個(gè)不同的白球， 若取出一個(gè)紅球記 2 分，取出一個(gè)白球記 1 分，從口袋中取 5 個(gè)球，使總分不小于 7 分的取法有多少種？ 解 由于取出一個(gè)紅球記 2 分，取出一個(gè)白球記 1 分，要使總分不小于 7 分， 則有三種取法： 4 紅 1 白； 3 紅 2 白； 2 紅 3 白． ∴ C44 C16 ＋ C34 C26 ＋ C24 C36 ＝ 1 8 6 ( 種 ) ． 10 ．已知 ( x －2x2 )n( n ∈ N*) 的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第 三項(xiàng)的系數(shù)的比是 10 ∶ 1. ( 1 ) 求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和； ( 2 ) 求展開式中含 的項(xiàng)； ( 3 ) 求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的 項(xiàng)． 解 由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為 C4n A33 ＝ 36 種． 36 7 ．在 (x2－13x)n的展開式中，只有第 5 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 只有第 5 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式共 9 項(xiàng)， 即 n ＝ 8 ， T r ＋ 1 ＝ Cr8 (x2)8 － r( －13x)r＝ Cr8 ( － 1)r陜西 ) 若 (1 － 2 x )2 0 0 9＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ ? ＋ a 2 0 0 9 x2 0 0 9 ( x ∈ R ) ，則a 12＋a 222 ＋ ? ＋a 2 0 0 922 0 0 9 的值為 ( ) A ． 2 B ． 0 C ．－ 1 D ．－ 2 思維啟迪 觀察式子的特點(diǎn)，利用賦值法求解． 解析 ∵ (1 － 2 x )2 0 0 9＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ ? ＋ a 2 0 0 9 x2 0 0 9( x ∈ R ) ， ∴ 令 x ＝ 0 ，則 a 0 ＝ 1 ，令 x ＝12， 則????????1 － 2 122 0 0 9＝ a 0 ＋a 12＋a 222 ＋ ? ＋a 2 0 0 922 0 0 9 ＝ 0 ， 其中 a 0 ＝ 1 所以a 12＋a 222 ＋ ? ＋a 2 0 0 922 0 0 9 ＝－ 1. 故選 C. C 探究提高 在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中， “ 賦值思想 ” 是一種重要方法，是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法． 變式訓(xùn)練 4 C22 n ＋ C42 n ＋ ? ＋ C2 k2 n ＋ ? ＋ C2 n2 n 的值 為 ( ) A ． 2n B ． 22 n － 1 C ． 2n－ 1 D ． 22 n － 1－ 1 解析 (1 ＋ x )2 n＝ C02 n ＋ C12 n x ＋ C22 n x2＋ C32 n x3＋ ? ＋ C2 n2 n x2 n. 令 x ＝ 1 得 C02 n ＋ C12 n ＋ C22 n ＋ ? ＋ C2 n － 12 n ＋ C2 n2 n ＝ 22 n； 再令 x ＝－ 1 得 C02 n － C12 n ＋ C22 n － ? ＋ ( － 1)rCr2 n ＋ ? －C2 n － 12 n ＋ C2 n2 n ＝ 0. 兩式相加，再由 C02 n ＝ 1 ， 得 C22 n ＋ C42 n ＋ ? ＋ C2 n2 n ＝22 n2－ 1 ＝ 22 n － 1－ 1. D 規(guī) 律 方 法 總 結(jié) 1 ． 排列組合應(yīng)用題的解題策略 ( 1 ) 在解決具體問題時(shí)
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