高二數(shù)學(xué)排列與組合、二項式定理(已修改)
2025-11-23 17:11 本頁面
【正文】 專題六 概率與統(tǒng)計 第 1 講 排列與組合、二項式定理 感 悟高 考 明確考向 ( 2 0 1 0 安徽 ) (xy－yx)6的展開式中， x3的系數(shù)等于_ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 設(shè)含 x3項為第 ( r ＋ 1) 項， 則 T r ＋ 1 ＝ Cr6 (xy)6 － r(－ yx)r＝ Cr6 x6 － r ( － y )r ＝ Cr6 26?ry 2rx?,)(2626 rrrryyx ??????∴ 6 － r －r2＝ 3 ， 即 r ＝ 2 ， ∴ T3＝ C26 x31y2 y2＝ C26 x3， x3的系數(shù)為 C26＝6 52＝ 1 5 . 答案 15( 只寫 C 26 或 C 46 也可 ) 考題分析 本小題考查了二項 式 定理、二項展開式的通項公式，二項展開式指定項系數(shù)的求法．考題難度不大，突出對基礎(chǔ)知識的考查．對二項式定理的考查，通常是以考查基礎(chǔ)知識為主的小題形式出現(xiàn)． 易錯提醒 ( 1 ) 錯用二項展開式的通項公式． ( 2 ) 根式與指數(shù)式轉(zhuǎn)化過程計算出錯． ( 3 ) 易忽略系數(shù)的符號 ( － 1)r，可能致誤． 主干知識梳理 1 ．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘． 2 ．排列與組合 ( 1 ) 排列：從 n 個不同元素中，任取 m ( m ≤ n ) 個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列．從 n 個不同元素中取出m 個元素的排列數(shù)公式是 Amn＝ n ( n － 1 ) ( n － 2) ? ( n －m ＋ 1) 或?qū)懗?Amn＝n ！( n － m ) ！. ( 2 ) 組合：從 n 個不同元素中，任取 m ( m ≤ n ) 個元素組成一組，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個組合．從 n 個不同元素中取出 m 個元素的組合數(shù)公式是 Cmn＝n ( n － 1 ) ( n － 2 ) ? ( n － m ＋ 1 )m ！ 或?qū)懗?Cmn＝n ！m ！ ( n － m ) ！. ( 3 ) 組合數(shù)的性質(zhì) ① Cmn＝ Cn － mn； ② Cmn ＋ 1＝ Cmn＋ Cm － 1n. 3 ．二項式定理 ( 1 ) 定理： ( a ＋ b )n＝ C0nanb0＋ C1nan － 1b ＋ C2nan － 2b2＋ ? ＋Crnan － rbr＋ ? ＋ Cnna0bn( r ＝ 0 , 1 , 2 ， ? ， n ) ． ( 2 ) 二項展開式的通項 Tr ＋ 1＝ Crnan － rbr， r ＝ 0 , 1 , 2 ， ? ， n ，其中 Crn叫做二項式 系數(shù)． ( 3 ) 二項式系數(shù)的性質(zhì) ① 對稱性：與首末兩端 “ 等距離 ” 兩項的二項式系數(shù)相等， 即 C0n＝ Cnn， C1n＝ Cn － 1n， ? ， Ckn＝ Cn － kn， ? . ② 最大值：當(dāng) n 為偶數(shù)時，中間的一項的二項式系數(shù) 取得最大值；當(dāng) n 為奇數(shù)時，中間的兩項的二項式 系數(shù) ， 相等，且同時取得最大值． ③ 各二項式系數(shù)的和 a ． C0n＋ C1n＋ C2n＋ ? ＋ Ckn＋ ? ＋ Cnn＝ 2n； b ． C0n＋ C2n＋ ? ＋ C2 rn＋ ? ＝ C1n＋ C3n＋ ? ＋ C2 r ＋ 1n＋ ? ＝122n＝ 2n － 1. 2nnC21?nnC 21?nnC熱點分類突破 題型一 兩個計數(shù)原理的應(yīng)用 例 1 某中學(xué)擬于下學(xué)年在高一年級開設(shè)《矩陣與變 換》、《信息安全與密碼》、《開關(guān)電路與布爾代數(shù)》等三門數(shù)學(xué)選修課程，在計劃任教高一的 10 名數(shù)學(xué)教師中，有 3 人只能任教《矩陣與變換》，有 2 人只能任教《信息安全與密碼》，另有 3 人只能任教《開關(guān)電路與布爾代數(shù)》，這三門課程都能任教的只有 2 人，現(xiàn)要從這 10 名教師中選出 9 人，分別擔(dān)任這三門選修課程的任課教師，且每門課程安排 3 名教師任教，則不同的安排方案共有 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 思維啟迪 本題可以根據(jù)已知條件作出韋恩圖，然后分4 種情況討論沒有任教的老師，得到答案． 解析 按邏輯順序作出如圖所示的韋恩圖． 由韋恩圖知，沒有任教的老師可分為 4 類情況． 第一類，沒有任教的老師是只能任教《信息安全與密碼》的 2 位教師中的一位，
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