【正文】 第十二章 排列、組合與二項式定理 排列與組合的內容是學習概率的預備知識，也是進一步學習數理統計、近世代數、組合數學等高等數學的基礎；由于內容抽象，解法特殊，所以這部分內容也是發(fā)展邏輯思維能力的很好題材 . 二項式定理是在初中乘法公式及組合數公式的基礎上學習的內容，它與概率論中二項分布、微積分中求導公式的推導有著密切的聯系，是進一步學習數學時經常用的基礎知識 . 第一節(jié) 加法原理與乘法原理 第二節(jié) 排列 第三節(jié) 組合 第四節(jié) 二項式定理 第一節(jié) 加法原理與乘法原理 在討論排列與組合之前 ,我們先介紹兩個基本原理，看下面的問題 . 例 1 從甲地到乙地，可乘坐火車、汽車或輪船中的任何一種，火車每日 1班，汽車每日 2班，輪船每日 3班，問從甲地到乙地，一日中共有多少種不同的走法？ 從甲地到乙地，可乘坐三類交通工具：火車、汽車或輪船，這三類乘坐方法互不關聯，使用其中任何一類都能獨立完成從甲地到達乙地，如圖121所示 . 圖 121 例 1中甲地到乙地的不同走法 汽 車火 車甲 乙輪 船解 因此，計算共有多少種不同走法，只需把這三類交通工具各自的班次數加起來，可得 :(2+3+1)種 =6種 答：從甲地到乙地共有 6種不同的走法 . 一般地，有以下原理 . 加法原理 ? ?,1 , 2 , , , ,ikn i k? 完 成 一 件 事 如 果 有 類 互 不 關 聯 的 方 法 每 類 方 法中 又 有 種 不 同 的 具 體 辦 法 使 用 其 中 一 種 辦 法 都能 獨 立 完 成 這 件 事 那 么 完 成 這 件 事 的 不 同 辦 法 共 有 :? ? ? ?21 種 121kn n n? ? ?(!) 加 法 原 理 實 質 是 直 接 完 成 一 件 事 . 加 法 原 理 又 稱 分 類計 數 原 理 .從 甲 地 經 乙 地 到 丙 地 , 甲 地 到 乙 地 可 乘 坐 汽 車 或 火 車 ,汽 車 每 日 2 班 , 火 車 每 日 1 班 , 而 從 乙 地 到 丙 地 每 日 有 3 班 輪 船 ,問 從 甲 地 到 丙 地 共 可 有 多 少 種 不 同 的 走 法 ? 例 2 由 已 知 從 甲 地 到 丙 地 要 分 兩 段 走 :? ?2 + 1 3 .?第 一 段 從 甲 地 到 乙 地 , 坐 汽 車 或 火 車 , 共 有 : 種 種,不 同 走 法 第 二 段 從 乙 地 到 丙 地 坐 船 共 有 3 種 不 同 的 走 法 .第 一 段 采 用 3 種 走 法 中 任 意 一 種 到 達 乙 地 后 , 要 去 丙 地 又有 3 種 走 法 可 以 選 擇 , 所 以 從 甲 地 經 乙 地 到 丙 地 , 共 有 :3 3 種 =9 種 .?不 同 走 法 , 如 圖 122 所 示 .圖 122 例 2中甲地到乙地的不同走法 甲 乙 丙輪 船汽 車火 車解一 般 地 , 我 們 有 以 下 原 理 .乘法原理 ? ?1 , 2 , , ,i完 成 一 件 事 , 如 果 有 個 相 互 關 聯 的 步 驟 , 要依 次 完 成 這 些 步 驟 , 這 件 事 才 能 完 成 , 而 每 一 個 步 驟 又 有種 不 同 的 具 體 辦 法 去 完 成 那 么 完 成 這 件 事 的 不同 辦 法 共 有 :knik?? ?21 種 122kn n n(!) 乘 法 原 理 實 質 是 分 步 配 合 完 成 . 乘 法 原 理 又 稱 分 步 計 數原 理 .( 1)( 2) 書 架 上 層 放 有 6 本 不 同 的 數 學 書 , 下 層 放 有 5 本 不 同 的語 文 書 . 從 中 任 取 一 本 書 , 有 多 少 種 不 同 的 取 法 ? 從 中 任 取 數 學 書 和 語 文 書 各 一 本 , 有 多 少 種 不 同 的 取 法 ? 例 3? ?2 ( 1)6 5 11 .N n n????1 完 成 從 書 架 上 任 取 一 本 書 這 件 事 有 兩 類 互 不 關聯 的 方 法 , 第 一 類 方 法 是 從 上 層 取 數 學 書 , 可 以 從 6 本 書 中 任 取一 本 , 有 6 種 方 法 。 第 二 類 方 法 是 從 下 層 取 語 文 書 , 可 以 從 5 本 書中 任 取 一 本 , 有 5 種 方 法 , 根 據 加 法 原 理 , 其 取 法 共 有 :=種 種:答 從 書 架 上 任 取 一 本 書 , 有 11 種 不 同 的 取 法 .解2.1(2) 完 成 從 書 架 上 任 取 數 學 書 和 語 文 書 各 一 本 這 件 事可 以 分 為 兩 個 步 驟 : 第 一 步 取 一 本 數 學 書 , 有 6 種 方 法 。 第 二 步取 一 本 語 文 書 , 有 5 種 方 法 , 根 據 乘 法 原 理 , 其 取 法 共 有 :=6? 5 種 =30 種Nn n =: , .答 從 書 架 上 取 數 學 書 和 語 文 書 各 一 本 有 30 種 不 同 的 方 法 將 3 封 信 投 入 6 個 信 箱 內 , 有 多 少 種 不 同 的 投 法 ?例 4N ?? 完 成 將 3 封 信 投 入 6 個 信 箱 內 這 件 事 可 以 分 步 考 慮 , 第一 步 投 第 一 封 信 , 因 為 有 6 個 信 箱 , 所 以 有 6 種 不 同 的 投 法 , 第 二步 投 第 二 封 信 , 同 樣 有 6 種 投 法 , 第 三 步 投 第 三 封 信 , 同 樣 也 有 6種 投 法 , 這 三 步 都 完 成 才 是 一 種 投 法 , 根 據 乘 法 原 理 , 不 同 的 投法 種 數 共 有 : =6 6 6 種 =216 種 .答 : 共 有 216 種 不 同 的 投 法 .答 :思考題： 課堂練習題： 習 題 、乘法原理 ? 條路是用的哪個原理？為什么？ 甲 乙 丙 30， 25， 28本，現要取出一本書，有多少種不同取法？ 1， 2， 3， 4， 5可組成多少個允許重復數字的三位數？ 答 案 答 案 答 案 答 案 第二節(jié) 排 列 一、排列的概念 我們看下面的問題 . 例 1 飛行在北京 上海 廣州間的民航飛機，應準備多少種不同的飛機票？ 從北京、上海、廣州三個站中間每次取出兩個站，一個作為起點站，一個作為終點站，就是一種飛機票，我們也可以把它看成是從三個站中每次取出兩個站，按起點站在前終點在后的順序，把它們排成一列，共有多少種不同的排法，就有多少種不同的飛機票 .現列舉如下： 超 點 站終 點 站北 京上 海 廣 州上 海北 京 廣 州廣 州北 京 上 海解 : , 3 , ,它 的 排 法 是 先 取 起 點 站 共 有 種 不 同 的 取 法 再 取 終 點 站在 起 點 站 已 經 確 定 的 情 況 下 , 可 作 終 點 站 的 , 只 有 2 種 不 同 的 取 法 ,這 兩 個 步 驟 都 完 成 了 , 就 組 成 了 一 種 票 , 因 此 , 按 乘 法 原 理 , 不 同起 點 和 終 點 的 飛 機 票 共 有 32 種 =6 種 .? 用 1,2,5 三 個 數 字 , 可 以 排 成 多 少 個 沒 有 重 復 數 字 的 三位 數 ?例 2 仿 照 例 1 的 方 法 , 從 1,2,5 三 個 數 字 中 , 依 次 選 取 百 位 數 ,十 位 數 和 個 位 數 , 可 有 以 下 幾 種 情 形 :百 位 數十 位 數個 位 數12 55 2125511 2512解?? 即 先 排 百 位 數 , 有 3 種 不 同 的 方 法 , 排 完 百 位 數 再 排 十 位 數 ,有 2 種 不 同 的 方 法 , 排 完 十 位 數 再 排 個 位 數 , 有 1 種 方 法 , 完 成 這三 個 步 驟 才 排 出 三 位 數