【正文】 ∠ABC＝∠ACB＝65176。－25176。∴∠OBC＝∠OCB＝40176。∴∠CEF＝∠FEO＝（1800－2400）247。例2.（2012甘肅白銀10分）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、F分別在線段BC、AB上，∠EFB=60176。∵∠EFB=60176?！郋F∥DC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。（2）連接BE?！唷鱁FB是等邊三角形?！逥C=EF，∴EB=DC。AB=AC?！唷鰽EB≌△ADC（SAS）?！究键c】等邊三角形的性質(zhì)，平行的判定，平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)。而∠EFB=60176?？梢酝瞥觥鱁FB是等邊三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60176。AB=AC，由SAS即可證明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性質(zhì)就證明AE=AD。CE，求證四邊形ABFC是矩形． 【答案】解：（1）證明：連接BD?！郃C=BF，∠ACB=∠CBF?！嗨倪呅蜛BFC是平行四邊形；
（2）∵DE2＝BE∵∠DEB=∠DEC=90176?！唷螩DE=∠DBE，∴∠BFC=∠BDC=∠BDE＋∠CDE=∠BDE＋∠DBE=90176。【考點】等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，等量代換。（2）利用題目提供的等積式和兩直角相等可以證得兩直角三角形相似，得到對應角相等，從而得到直角來證明有一個角是直角的平行四邊形是矩形。若DE⊥AB，垂足為點E，則DE的長為 ▲ ．3. （2011湖北十堰8分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C為半徑OB上一點，過點C作CD⊥AB交半圓O于點D，將△ACD沿AD折疊得到△AED，AE交半圓于點F，連接DF。4. （2011四川巴中10分） 如圖所示，△ABC的外接圓圓心O在AB上，點D是BC延長線上一點，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND邊的中線． (1)求證：△ABC≌△DNC； (2)試判斷CP與⊙O的位置關系，并證明你的結論。將△ACD沿對角線AC翻折后，點D恰好與邊AB的中點M重合． (1)點C是否在以AB為直徑的圓上?請說明理由。典型例題：例2.（2012廣西柳州3分）已知：在△ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45176?！究键c】解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理，勾股定理。作△ABC的高AD，過點E作EF⊥BC于點F。∵在Rt△ABD中，∠ABD=45176?！郆C=BD+CD=a。∴FC=DC=a，EF=AD=a。在Rt△BEF中，由勾股定理，得。作△ABC的高AD?！咴赗t△ABD中，∠ABD=45176?！郆C= BD=a?！郆E=AD=a。例3. （2012廣西河池3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN，連結CN．若△CDN的面積與△CMN的面積比為1︰4，則 的值為【 】A．2 B．4 C． D．【答案】D?！痉治觥窟^點N作NG⊥BC于G，由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形AMCN是菱形，由△CDN的面積與△CMN的面積比為1：4，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應底的比，可得DN：CM=1：4，然后設DN=x，由勾股定理可求得MN的長，從而求得答案： 過點N作NG⊥BC于G，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形CDNG是矩形，AD∥BC。由折疊的性質(zhì)可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN?！郃M=CM，∴四邊形AMCN是平行四邊形?！摺鰿DN的面積與△CMN的面積比為1：4，∴DN：CM=1：4?！郆M=x，GM=3x。故選D。DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1?！郉C=2，HC=。∠BAC=90176?！郃C=2+1+ =3+?！究键c】勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出EH=DH=1，進而得出再利用直角三角形中30176。例5.（2012山東萊蕪9分）某市規(guī)劃局計劃在一坡角為16186。支架BD⊥AB于點B，且AC、BD的延長線均過⊙O的圓心，AB＝12m，⊙，求雕塑最頂端到水平地面的垂直距離(，參考數(shù)據(jù)：cos28186。≈，sin44186。≈)．【答案】解：如圖，過點O作水平地面的垂線，垂足為點E。∵∠BAE=160，∴∠OAE=280＋160=440。答： m。【分析】如圖，過點O作水平地面的垂線，構造Rt△AOE。例6.（2012山東聊城7分）周末，小亮一家在東昌湖游玩，媽媽在湖心島岸邊P處觀看小亮與爸爸在湖中劃船（如圖）．小船從P處出發(fā)，沿北偏東60176。方向上，這時小亮與媽媽相距多少米（精確到米）？（參考數(shù)據(jù)：sin37176?！?，tan37176?！螧=37176。=，得PD=PAcos30176。在Rt△PBD中，由sin37176。答：小亮與媽媽的距離約為288米?！痉治觥孔鱌D⊥AB于點D，分別在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得結論。半徑OA=6．將扇形OAB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在 上點D處，折痕交OA于點C，求整個陰影部分的周長和面積．【答案】解：連接OD?！唷鱋BD是等邊三角形?！唷螩BO=∠DBO=30176?！郞C=OB?tan∠CBO=6。整個陰影部分的面積為：?！痉治觥窟B接OD，由折疊的性質(zhì)，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，則可得△OBD是等邊三角形，繼而求得OC的長，即可求得△OBC與△BCD的面積，又由在扇形OAB中，∠AOB=90176。練習題：1. （2012四川綿陽3分）已知△ABC中，∠C=90176。A． B． C． D．2.（2012山東青島8分）如圖，某校教學樓AB的后面有一建筑物CD，當光線與地面的夾角是22186。時，教學樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13m的距離(B、F、C在一條直線上)．(1)求教學樓AB的高度；(2)學校要在A、E之間掛一些彩旗，請你求出A、E之間的距離(結果保留整數(shù))．(參考數(shù)據(jù)：sin22186?！郑瑃an22186?？潭染€，則假山的高度為【 】A．（4+）m B．（12+）m C．（4+）m D．4m4.（2012江蘇南京2分）如圖，將的∠AOB按圖擺放在一把刻度尺上，頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將的∠AOC放置在該尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)約為 ▲ cm（結果精確到0. 1 cm，參考數(shù)據(jù)：，）5.（2012福建福州4分）如圖，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36176。方向，且其到A觀測點正北方向的距離BD的長為16km，一艘貨輪從B港口以40km/h的速度沿如圖所示的BC方向航行，15min后達到C處，176?！?，176?！郑?76?！?，≈，≈)8.（2012四川樂山10分）如圖，在東西方向的海岸線l上有一長為1千米的碼頭MN，在碼頭西端M的正西方向30 千米處有一觀察站O．某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于O的北偏西30176。典型例題：例1. （2012浙江紹興5分）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，將△ABE沿AE折疊，使點B落在AC上的點B′處，又將△CEF沿EF折疊，使點C落在EB′與AD的交點C′處．則BC：AB的值為 ▲ ?！究键c】三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)?！逧是AC中點，∴DE=EH?！郉E=HE，DC=AH。∴EF=BH?！郋F=1。例3.（2012山東德州12分）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結論；（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1）如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90176。又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。（2）△PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?。由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90176。∴AP=QP，AB=BQ。又∵∠C=∠BQH=90176。∴CH=QH。（3）如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB?！唷螮FM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90176。又∵∠A=∠EMF=90176?！郋M=AP=x．∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即。又∵四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，∴。【考點】翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值。（2）先由AAS證明△ABP≌△QBP，從而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，從而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函數(shù)的最值求出即可。∠A＝15186。BC的值為【 】A．14 B．16 C．4 D．16【答案】D?！痉治觥垦娱LBC到點D，使CD＝CB，連接AD，過點D作DE⊥AB，垂足為點E。AD＝AB?！郉E＝AD＝4。ABBD2BCBC，即AC例5. （2011山東濟南3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90186?！究键c】正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。 易證△CGM≌△CAB（SAS），即S2＝S△ABC； 易證△PBD≌△CAB（AAS），∴BP=AC，即S3的底為BN=BC，高為BP=AC，∴S2＝S△ABC；易證△SEA≌△CAB（AAS），∴AS=BC，即S1的底為FA=CA，高為AS=BC，∴S2＝S△ABC。故選A。AB=AC，∴△ACD≌△ABE（AAS）。 （2）在Rt△ADO與Rt△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO（HL）。即OA是∠BAC的平分線?！究键c】全等三角形的判定和性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)全等三角形AAS的判定方法，證明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE。練習題：1. （2012湖南岳陽3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90176。則∠CAP=　 ▲ ?。?.（2011廣西貴港2分）如圖所示，將兩張等寬的長方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個四邊形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60176。 沿GC折疊, 使點B落在EF上的點B39。 展平, 得折痕GC(如圖③)。 處(如圖④)。 折疊(如圖⑤)。 、GH(如圖⑥)。 的大小。 是正三角形嗎?請說明理由. 五、構造相似三角形：通過構造相似三角形，應用相似三角形對應角相等、對應邊成比例的性質(zhì)，達到求證（解）的目的。【考點】解直角三角形的應用（坡度坡角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)。作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30176。=2，在Rt△CED中，CE=2，∵同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，∴DE=4?！摺鱀CE∽△DAB，且CE：DE=1：2，∴在Rt△ABD中，AB=BD=。例2.（2012湖北十堰3分）如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分線EF交AD于點E、交BC于點F，則EF=　 ▲ 　．【答案】。∵AC的垂直平分線EF，∴AE=EC。AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC?！?。在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4－CE）2+22，解得： CE=。∵在Rt△CEO中，CO=，CE=，由勾股定理得：EO=。例3.（2012天津市10分）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經(jīng)過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP．設BP=t．（Ⅰ）如圖①，當∠BOP=300時，求點P的坐標；（Ⅱ）如圖②，經(jīng)過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當點C′恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）．【答案】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，∠OBP=90176。在Rt△OBP中，由∠BOP=30176。∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=－（舍去）．∴點P的坐標為（ ，6）?！唷螼PB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。∴∠OPB+∠QPC=90176?！唷螧OP=∠CPQ?！唷鱋BP∽△PCQ。由題意設BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11－t，CQ=6－m．∴。（Ⅲ）點P的坐標為（，6）或（，6）?！痉治觥浚á瘢└鶕?jù)題意得，∠OBP=90176。BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。（Ⅲ）首先過點P作PE⊥OA于E，易證得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的長，然后利用相似三角形的對應邊成比例與，即可求得t的值： 過點P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90176?！摺螾C′E+∠QC′A=90176?！唷鱌C′E∽△C′QA?！逷C′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m，∴?！?，即，∴，即。解得：。例4.（2012湖南岳陽3分）如圖，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一點，