【正文】 軸上的截距； b1是直線的斜率，稱(chēng)為回歸系數(shù)，表示當(dāng) x每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)， y的平均變動(dòng)值。用樣本統(tǒng)計(jì)量 b0和 b1代替回歸方程中的未知參數(shù) b0和 b1 ，就得到了估計(jì)的回歸方程： ? 其中， b0是估計(jì)的回歸直線在 y軸上的截距， b1是直線的斜率。 ? 用數(shù)據(jù)尋找一條直線的過(guò)程也叫做擬合 一條直線。這里介紹 最小二乘回歸法 （ least squares regression）。（ 2）原數(shù)列的觀測(cè)值與模型估計(jì)值的離差總和為 0。 ? 法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德于 1806年首次發(fā)表最小二乘理論。 ? 最小二乘法也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一種常用的方法，在工業(yè)技術(shù)和其他科學(xué)研究中有廣泛應(yīng)用。則 y的估計(jì)值用 表示。為此，分別求 Q對(duì) b0和 b1的偏導(dǎo)，就可以求出符合要求的待估參數(shù) b0和b1： 01?y b b x??01yxb b e? ? ?? ?2 22 01i i iQ y y y b b xe???? ? ? ? ? ?????? ? ?1 0 122 , ()n x y x y y xb b bn x x n n?? ? ??? ? ? ? ???例 32：已知某種商品的 銷(xiāo)售量 同居民的 可支配收入 有關(guān)，現(xiàn)有如下表的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，試建立回歸方程，并求出相應(yīng)參數(shù)的最小二乘估計(jì)值。記為 SST（ Total Deviation Sum of Squares）。可分解為兩部分： ? 其中 稱(chēng)作 回歸平方和 （ Regression Sum of Squares） ,記作 SSR； 稱(chēng)作 殘差平方和 （ Residual Sum of Squares） ,記作 SSE。 2( ) ,S S T y y???2?( ) ,S S E y y???2?()S S R y y??? r2 = 決定系數(shù) = r = 相關(guān)系數(shù) = 確定性系數(shù) SSR SST + Y X 解釋的 總的 均值（ Y） 回歸線（ Y’） 未解釋的 總的、解釋的和未解釋的偏離之間的關(guān)系 回歸方程的顯著性檢驗(yàn)： ? 回歸方程的顯著性檢驗(yàn) ，就是檢驗(yàn)自變量和因變量之間的線性關(guān)系是否顯著。 ? （回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)）。 ? 具體方法是將回歸離差平方和 SSR同剩余離差平方和 SSE加以比較，應(yīng)用檢驗(yàn)來(lái)分析二者之間的差別是否顯著。 ? 檢驗(yàn)步驟如下： （總體顯著性檢驗(yàn)） ? （ 1）提出假設(shè) ? H0：自變量與因變量的線性關(guān)系不顯著； ? H1：兩者線性關(guān)系顯著。 ? ?/1 1 , 2/ ( 2 )SSRF F nS S E n???,FF?? ,FF?? 在回歸分析中通常計(jì)算 F值來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ涂傮w的顯著性，在我們后面將要學(xué)到的多元回歸中，F(xiàn)用來(lái)檢驗(yàn)是否至少有一個(gè)回歸系數(shù)（因?yàn)橛卸鄠€(gè)回歸系數(shù)）不為 0。 ? 對(duì)回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)就是檢驗(yàn) x與 y之間是否具有線性關(guān)系，或者說(shuō)，檢驗(yàn)自變量 x對(duì)因變量 y的影響是否顯著。 01:0H b ?11:0H b ?/2 ( 2 ) ,t t n???/2 ( 2 ) ,t t n???221rntr???? 在“投入與產(chǎn)出”的例 1中，相關(guān)系數(shù) r=，顯著性水平 ?＝ ，計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量： ? 查表得 落入拒絕域中，即拒絕 H0，接受 H1。 222 0 . 7 5 9 1 0 2 3 . 2 9 71 1 0 . 7 5 9rntr??? ? ???/ 2 / 22 . 3 0 6 , 3 . 2 9 7 tt???3. 相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法（回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)） （ 1）計(jì)算相關(guān)系數(shù) r。反之，如果 ，則表明兩變量之間線性相關(guān)關(guān)系不顯著。 ? y0在 1?置信水平下的預(yù)測(cè)區(qū)間為： 22221 ( )( 2 ) 1()yxxy t n Sxnxn?? ?? ? ? ?? ?? ? 預(yù)測(cè)區(qū)間為： ? 所以他的產(chǎn)出的 95%的預(yù)測(cè)區(qū)間為 。 ? a ( 2 )29 . 9 0 1 , n = 1 0 , a = 0 . 0 5 , t = 2 . 3 0 6nyS ?? 查 表 得 ,? 當(dāng)實(shí)際觀測(cè)值較多時(shí)（ n30）， ? 近似等于 1， 近似于正態(tài)分布， 上式可簡(jiǎn)化為 2221 ( )1()xxxnxn???? ??2( 2 )tn? ?2. yy Z S???? 例 31 設(shè)有 10個(gè)廠家的投入和產(chǎn)出如下，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，我們可以認(rèn)為投入和產(chǎn)出之間存在相關(guān)性嗎？ （相關(guān)數(shù)據(jù)） 廠家 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 投入 20 40 20 30 10 10 20 20 20 30 產(chǎn)出 30 60 40 60 30 40 40 50 30 70 作業(yè) 1： 某省 1978~1986年居民消費(fèi)品購(gòu)買(mǎi)力和居民貨幣收入統(tǒng)計(jì)如下表： 建立一元線性回歸模型。 若居民貨幣收入每年平均增長(zhǎng) 19%，預(yù)測(cè)1987年居民消費(fèi)品購(gòu)買(mǎi)力。 要求用 Excel軟件計(jì)算，并給出計(jì)算結(jié)果及截圖。要求用 Excel軟件計(jì)算，并給出計(jì)算結(jié)果的主要結(jié)果（截圖）。 對(duì)回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)（ ?=）。 對(duì) 1987年居民消費(fèi)品購(gòu)買(mǎi)力作區(qū)間預(yù)測(cè)。 ?y a b x??22?()??i i i iiiiin x y x ybn x xyxabnn? ???????????? ? ?????年份 居民消費(fèi)品 購(gòu)買(mǎi)力 x 居民貨幣 收入 y x y x2 y2 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 合計(jì) 232 （單位：億元） 2. 計(jì)算回歸系數(shù)。 22?()?( ) / ( 2 )iiiyyFy y n??????年份 居民消費(fèi)品 購(gòu)買(mǎi)力 x 居民貨幣 收入 y 預(yù)測(cè)值 y39。y均 )2 (y y39。 22?() 1 2 4 8 . 5 17 7 3 8 . 1 1?( ) / ( 2 ) 1 . 1 3 / 7iiiyyFy y n?? ? ?????n =9； ?= ；查 F 值表得 ： F?（ 1， n2） = （ 1， 7） = 樣本的統(tǒng)計(jì)量 F ： F = F ≥ (1， 9)， 表明兩變量之間線性相關(guān)關(guān)系顯著，檢驗(yàn)通過(guò)。 21?( ) ~ ( 2 ) ,?niibt x x t n? ?? ? ?? 其中211 ?()2niiiyyn??? ?2?? ?2111 ?( ) 1 . 1 3 0 . 1 627niiiyyn?? ? ? ?? ?2?? ?1 . 1 8 8 8 1 . 3 8 2 1 8 9 4 . 9 60 . 1 6t ??n =9； ?/2 = ；查 t 值表得： t?/2 （ n2） = （ 7） = 樣本的統(tǒng)計(jì)量 t ： t = ； | t | ≥ (7)，拒絕假設(shè) H0：b=0， 而接受 H1，即認(rèn)為 b 顯著異于 0，因變量 y 對(duì)自變量 x 的一元線性回歸成立。( ) 2iiyyiyyxxS S Sn x x n??? ? ? ?????0y?在顯著性水平 下， 的預(yù)測(cè)區(qū)間為200? + ( 2 ) )y t n S? ?200?( ( 2 )y t n S? ? ，n =9； ?/2 = ；查 t 值表得： t?/2 （ n2） = （ 7） = 6. 預(yù)測(cè) 0? 1 .1 9 1 .1 8 ( 3 9 .2 ( 1 0 .1 9 ) ) 5 6 .6 9y ? ? ? ? ? ?2?()0 . 1 6 0 . 4 02iiyyySn?? ? ???222 00 2()1 1 6 6 5 . 8 2[ 1 ] ( 1 ) 1 . 8 7( ) 9 8 8 1 . 3 8yixxSSn x x?? ? ? ? ? ? ???200? ( 2 )5 6 .6 9 2 .3 6 5 1 .8 75 6 .6 9 3 .2 3y t n S? ????mmm 當(dāng) 居民貨幣收入每年平均增長(zhǎng) 19%，在顯著性水平 ?=時(shí)， 1987年居民消費(fèi)品購(gòu)買(mǎi)力的預(yù)測(cè)區(qū)間為 ～ 元 2?()2iiyyySn????n 3 0 , t當(dāng)實(shí)際