必修四24平面向量的數(shù)量積教案資料-在線瀏覽
2025-06-14 13:28本頁面
【正文】 a、b、c和實(shí)數(shù)λ，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律:①aa（交換律）；②（λa）b）=ac=ac（分配律）．特別是:（1）當(dāng)a≠0時(shí)，由ab=0．注意：已知實(shí)數(shù)a、b、c（b≠0），則ab=bca=c．但對向量的數(shù)量積，該推理不正確，即ac不能推出a=c．由上圖很容易看出，雖然ac，但a≠c．對于實(shí)數(shù)a、b、c有（ac）；但對于向量a、b、c，（ac）不成立．這是因?yàn)椋╝c）表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線，所以（ac）不成立．提出問題①如何理解向量的投影與數(shù)量積？它們與向量之間有什么關(guān)系？②能用“投影”來解釋數(shù)量積的幾何意義嗎？ 師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生來總結(jié)投影的概念，可以結(jié)合“探究”，讓學(xué)生用平面向量的數(shù)量積的定義，從數(shù)與形兩個(gè)角度進(jìn)行探索研究．教師給出圖形并作結(jié)論性的總結(jié)，提出注意點(diǎn)“投影”的概念，如下圖．定義：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影．并引導(dǎo)學(xué)生思考.A. 投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；B. 當(dāng)θ為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)θ為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)θ為直角時(shí)投影為0；當(dāng)θ=0176。時(shí)投影為|b|．教師結(jié)合學(xué)生對“投影”的理解，讓學(xué)生總結(jié)出向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積aa=ab=0．C. 當(dāng)a與b同向時(shí)，ab=|a||b|．特別地ab|≤|a||b|． 上述性質(zhì)要求學(xué)生結(jié)合數(shù)量積的定義自己嘗試推證，教師給予必要的補(bǔ)充和提示，在推導(dǎo)過程中理解并記憶這些性質(zhì)．討論結(jié)果:①略．②向量的數(shù)量積的幾何意義為數(shù)量積a求ab=|a||b|cosθ=54 cos120176。b+b2；（2）（a+b）（a+b）=ab+bb=a2+2a（ab）=ab+bb=a2b2．例3 已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為60176。（a3b）．解: （a+2b）aab=|a|2a642=72．例4 已知|a|=3，|b|=4，且a與b不共線，當(dāng)k為何值時(shí)，向量a+kb與akb互相垂直？解: a+kb與akb互相垂直的條件是（a+kb）．也就是說，當(dāng)k=177。b|=|a||b|a∥b ②a與b反向ac|=|b0，則△ABC是銳角三角形；②在△ABC中，若=0；④△ABC為斜三角形的充要條件是則a在e方向上的投影為（ ）A．4 B．4 C．42 D．8+4．設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，有下列四個(gè)命題:①（aa）b=0； ②|a||b||ab|；③（ba）b不與c垂直； ④（3a+2b）b+ba=_________．參考答案:1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．2 7．13第2課時(shí)教學(xué)目標(biāo) 一、知識與技能1．掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律.2．能利用數(shù)量積的性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題.3．掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題． 二、過程與方法教師應(yīng)在坐標(biāo)基底向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．通過例題分析、課堂訓(xùn)練，讓學(xué)生總結(jié)歸納出對于向量的坐標(biāo)、數(shù)量積、向量所成角及模等幾個(gè)因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本題型的求解方法．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和平面向量數(shù)量積的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的，這都為數(shù)量積的坐標(biāo)表示奠定了知識和方法基礎(chǔ)．三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀 通過平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)一步加深學(xué)生對平面向量數(shù)量積的認(rèn)識，提高學(xué)生的運(yùn)算速度，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．教學(xué)難點(diǎn)：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用．教學(xué)關(guān)鍵：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的理解．教學(xué)突破方法：教師應(yīng)在坐標(biāo)基底向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．并通過練習(xí)，使學(xué)生掌握數(shù)量積的應(yīng)用．教法與學(xué)法導(dǎo)航教學(xué)方法：啟發(fā)誘導(dǎo)，講練結(jié)合.學(xué)習(xí)方法：主動探究，練習(xí)鞏固．教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：多媒體、尺規(guī).學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本、尺規(guī).教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，以及平面向量的數(shù)量積，那么，能否用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積呢？若能，如何表示呢？由此又能產(chǎn)生什么結(jié)論呢？本節(jié)課我們就來研究這個(gè)問題．（板書課題）二、主題探究，合作交流提出問題：①已知兩個(gè)非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎樣用a與b的坐標(biāo)表示ab=（x1ｉ+y1j）j+x2y1ｉｉ=1，jj=jb=x1x2+y1y2．教師給出結(jié)論性的總結(jié)，由此可歸納如下：A. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a若三角形的兩條邊所在的向量模相等或者由兩邊所在向量的數(shù)量積為零，則此三角形為等腰三角形或者為直角三角形．教師可以讓學(xué)生多總結(jié)幾種判斷平面圖形形狀的方法．解：在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出A（1，2），B（2，3），C（2，5）三點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)△ABC是直角三角形．下面給出證明．∵=（21，32）=（1，1），=（21，52）=（3，3），∴b及a、b間的夾角θ（精確到1176。b=5（6）+（7）（4）=30+28=2．|a|=，|b|=由計(jì)算器得cosθ=≈0．03．利用計(jì)算器得θ≈1．6rad=92176。b=，則x等于（
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