【正文】 論，我們又可得到定理2（基本不等式）：如果a，b是正數(shù)，那么 ≥（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)）證明：∵（）2＋（）2≥2∴a ＋b≥2 ，即 ≥顯然，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，＝說明：1）我們稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2）a 2＋b 2≥2ab和≥成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù).3）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件.4）幾何意義.二、例題講解：例1 已知x，y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2； （2）如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值S2證明：因?yàn)閤，y都是正數(shù)，所以 ≥ （1）積xy為定值P時(shí)，有≥ ∴x＋y≥2上式當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，取“＝”號(hào)，因此，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2.（2）和x＋y為定值S時(shí)，有≤ ∴xy≤ S 2上式當(dāng)x=y時(shí)取“＝”號(hào)，因此，當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值S 2.說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個(gè)條件：?。┖瘮?shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù)。例2 ：已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)均值不等式定理的條件的認(rèn)識(shí).證明：由a、b、c、d都是正數(shù)，得≥＞0，≥＞0，∴≥abcd即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd例3 某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？分析：此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為xm，水池的總造價(jià)為l元，根據(jù)題意，得l＝240000＋720（x＋）≥240000＋7202＝240000＋720240＝297600當(dāng)x＝，即x＝40時(shí)，l有最小值297600因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元.評(píng)述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件.三、課堂練習(xí)：課本P91練習(xí)1，2，3，4.四、課堂小結(jié)：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，但是在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意定理的適用條件。教學(xué)重點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式教學(xué)難點(diǎn)：利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式，解決最值問題教學(xué)過程：一、知識(shí)學(xué)習(xí)：定理3：如果，那么。推廣： ≥ 。語(yǔ)言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。二、例題分析：例1：求函數(shù)的最小值。由此題，你覺得在利用不等式解決這類題目時(shí)關(guān)鍵是要_____________________例2 ：如下圖，把一塊邊長(zhǎng)是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿名著虛線折轉(zhuǎn)成一個(gè)無(wú)蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長(zhǎng)是多少時(shí)，才能使盒子的容積最大？變式訓(xùn)練2 已知：長(zhǎng)方體的全面積為定值Ｓ，試問這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少時(shí)，它的體積最大，求出這個(gè)最大值．由例題，我們應(yīng)該更牢記 一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。5（2008，江蘇，21）設(shè)為正實(shí)數(shù)，求證：四、課堂小結(jié)：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，但是在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意定理的適用條件。2：充分運(yùn)用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會(huì)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用絕對(duì)值三角不等式公式進(jìn)行推理和證明。教學(xué)難點(diǎn)：絕對(duì)值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)、取等條件。本節(jié)課探討不等式證明這類問題。 。2．證明一個(gè)含有絕對(duì)值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對(duì)值的和、差、積、商的性質(zhì)：（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 所以。這就是上面的例3。）三、典型例題：例已知 ，求證 證明 （1），∴ （2）由（1），（2）得：例已知 求證：。注意： 在推理比較簡(jiǎn)單時(shí)，我們常常將幾個(gè)不等式連在一起寫。例3 兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工,每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次,要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處?解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第 x km處，兩施工隊(duì)每天往返的路程之和為S(x)km那么 S(x)=2(|x10|+|x20|)四、課堂練習(xí)：1.()求證:⑴。⑵3．（1）、已知求證：。五、課堂小結(jié)：1．實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的意義:⑴。六、課后作業(yè)：課本P19第2，4，5題七．教學(xué)后記：課 題：　第05課時(shí) 絕對(duì)值不等式的解法教學(xué)目標(biāo)：1：理解并掌握型不等式的解法.2：掌握 型不等式的解法.教學(xué)重點(diǎn)：型不等式的解法.教學(xué)難點(diǎn)：把絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式(組)來(lái)求解.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：在初中課程的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對(duì)不等式和絕對(duì)值的一些基本知識(shí)有了一定的了解。 在數(shù)軸上，一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離稱為這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì)值。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)討論含有絕對(duì)值的不等式。下面分別就這兩類問題展開探討。主要的依據(jù)是絕對(duì)值的幾何意義.含有絕對(duì)值的不等式有兩種基本的類型。根據(jù)絕對(duì)值的意義，不等式的解集是 ，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于a的點(diǎn)的集合是開區(qū)間（－a，a），如圖所示。第二種類型：設(shè)a為正數(shù)。如圖12所示。和型不等式的解法。（三種思路）三、典型例題：例解不等式。方法1：分類討論。例解不等式。解：本題可以按照例3的方法解，但更簡(jiǎn)單的解法是利用幾何意義。因?yàn)?，2的距離為1，所以x在2的右邊，與2的距離大于等于2（＝（5－1）；或者x在1的左邊，與1的距離大于等于2。四、課堂練習(xí)：解下列不等式： . . . 五、課后作業(yè)：課本20第9題。教學(xué)重、難點(diǎn)：能熟練地運(yùn)用作差、作商比較法證明不等式。例若實(shí)數(shù)，求證：證明：采用差值比較法： = = = =∴ ∴ 討論：若題設(shè)中去掉這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？例已知求證本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。2）商值比較法：設(shè) 故原不等式得證。甲有一半時(shí)間以速度行走，另一半時(shí)間以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。分析：設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時(shí)間分別為。解：設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時(shí)間分別為，根據(jù)題意有，可得，從而，其中都是正數(shù)，且。從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點(diǎn)。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。六、教學(xué)后記：課 題：第02課時(shí) 不等式的證明方法之二：綜合法與分析法教學(xué)目標(biāo)： 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。教學(xué)過程：一、引入：綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐步推導(dǎo)出要證的不等式。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因”。二、典型例題：例已知，且不全相等。例設(shè)，求證證法一 分析法要證成立.只需證成立，又因，只需證成立，又需證成立，. 由此命題得證。議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點(diǎn)嗎？例已知a，b，m都是正數(shù)，并且求證： （1）證法一 要證（1），只需證 （2）要證（2），只需證 （3）要證（3），只需證 （4）已知（4）成立，所以（1）成立。下面的證法二采用綜合法。例證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管橫截面的周長(zhǎng)相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。設(shè)截面的周長(zhǎng)為，則周長(zhǎng)為的圓的半徑為，截面積為；周長(zhǎng)為的正方形為，截面積為。證明：設(shè)截面的周長(zhǎng)為，則截面是圓的水管的截面面積為，截面是正方形的水管的截面面積為。為了證明上式成立，只需證明。因此，只需證明。這就證明了：通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管橫截面的周長(zhǎng)相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。證法一： 因?yàn)? （2） （3） （4）所以三式相加得 （5）兩邊同時(shí)除以2即得（1）。例證明： （1）證明 （1） （2） （3） （4） （5）（5）顯然成立。例已知都是正數(shù)，求證并指出等號(hào)在什么時(shí)候成立？分析：本題可以考慮利用因式分解公式 著手。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時(shí)常常用到的技巧。求證：（1） （2）已知都是互不相等的正數(shù)，求證五、課后作業(yè)： 課本25頁(yè)第4題。教學(xué)重點(diǎn)：體會(huì)反證法證明命題的思路方法，會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題。教學(xué)過程:一、引入：前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。但對(duì)于一些較復(fù)雜的不等式，有時(shí)很難直接入手求證，這時(shí)可考慮采用間接證明的方法。其中，反證法是間接證明