【正文】 因?yàn)榕c的面積相等，所以， 設(shè) ，所以 ，．所以 即　　（*）； 因?yàn)椤。瑑牲c(diǎn)在圓上，所以 把（*）代入，得 ，所以 所以 直線的斜率， 即． （）的右焦點(diǎn)為，離心率為.（Ⅰ）若，求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，分別為線段的中點(diǎn). 若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.解：（Ⅰ）由題意得，得. …2分結(jié)合，解得，.…3分所以，橢圓的方程為…4分（Ⅱ）由 得. ，……6分依題意，易知，四邊形為平行四邊形，所以，…7分因?yàn)椋? …8分即 ，…9分將其整理為 .10分因?yàn)?，所以?11分所以，即. ，橢圓E：．（Ⅰ）若不論k取何值，直線與橢圓E恒有公共點(diǎn)，試求出m的取值范圍及橢圓離心率e關(guān)于m的函數(shù)式；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，若,求橢圓E方程．解：(Ⅰ)∵直線恒過定點(diǎn)M(0，1)，且直線與橢圓E恒有公共點(diǎn)，∴點(diǎn)M(0，1)在橢圓E上或其內(nèi)部，得，解得.(聯(lián)立方程組，用判別式法也可)當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，.∴ (Ⅱ)由，消去得.設(shè)，則①，②.∵M(jìn)(0，1)，∴由得 ③. 由①③得 ④.將③④代入②得， ，解得(不合題意，舍去).∴橢圓E的方程為. ，斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn).Ⅰ）若橢圓的離心率，直線過點(diǎn)，且，求橢圓的方程；（Ⅱ）直線過橢圓的右焦點(diǎn)F，設(shè)向量，若點(diǎn)在橢圓上，求 的取值范圍.解：（Ⅰ）∵， ∴. ∴.∵ ∴ .∴橢圓的方程為. …… 5分（Ⅱ）得 ，.=（，）, .∵點(diǎn)在橢圓上 ，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中得.∵ ,∴ ,. 25．已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)， 為橢圓上的動點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若與均不重合，設(shè)直線與的斜率分別為，證明：為定值；（Ⅲ）為過且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，若，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線． 解：（Ⅰ）由題意可得圓的方程為，∵直線與圓相切，∴，即， 又，即，解得， 所以橢圓方程為． （Ⅱ）設(shè)， ，則，即， 則，即， ∴為定值． （Ⅲ）設(shè)，其中．由已知及點(diǎn)在橢圓上可得， 整理得，其中． ①當(dāng)時(shí)，化簡得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段； ②當(dāng)時(shí)，方程變形為，其中， 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓． ，橢圓短半軸長為1，動點(diǎn) 在直線上?！窘馕觥浚?）又由點(diǎn)M在上，得 故， 從而 …2分所以橢圓方程為 或 4分（2）以O(shè)M為直徑的圓的方程為即 其圓心為,半徑……6分因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長為2所以圓心到直線的距離 …8分所以，解得所求圓的方程為…10分（3）方法一：由平幾知：直線OM：，直線FN：…12分由得所以線段ON的長為定值。解：（1）由消去并整理得，…………4分故直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)…………5分（2）直線的方程為即 設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為則 解得 直線的斜率為從而直線的方程為即從而直線恒過定點(diǎn) ：的離心率為，過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為的直線與相交于、．⑴求、的值；⑵若動圓與橢圓和直線都沒有公共點(diǎn)，試求的取值范圍．解：⑴依題意，：……1分，不妨設(shè)設(shè)、（）由得，……3分，所以，解得，． ⑵由消去得……7分，動圓與橢圓沒有公共點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)或……9分，解得或……10分。解或……13分，得的取值范圍為 如圖所示，已知圓為圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足的軌跡為曲線. （I）求曲線的方程； （II）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線于不同的兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)之間），且滿足，求的取值范圍.【解】（Ⅰ）∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|.……2分又∴動點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（－1，0），A（1，0）=2. ……………5分∴曲線E的方程為………6分（Ⅱ）當(dāng)直線GH斜率存在時(shí)，設(shè)直線GH方程為得設(shè)……………8分，………10分又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為31．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，直線與圓相切，與橢圓相交于兩點(diǎn)．（I）求橢圓的方程； （II）證明為定值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．解：（I）由題意， 解三角形得，由橢圓定義得， 從而又，則，所以橢圓的方程為 （6分） （II）設(shè)交點(diǎn)，聯(lián)立消去得 由韋達(dá)定理得 （9分）又直線與圓相切， 則有 從而 所以，即為定值． 32．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)；橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線、切線與相交于點(diǎn)．證明：；（3） 橢圓上是否存在一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、（、為切點(diǎn)），使得直線過點(diǎn)？若存在，求出拋物線與切線、所圍成圖形的面積；若不存在，試說明理由．解：（1）設(shè)橢圓的方程為 ，得，∴ 解得 .所以橢圓的方程為：.……分（2）顯然直線的斜率存在，否則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意， 故可設(shè)直線的方程為 ， 由 消去并整理得 ， ∴ .…分∵拋物線的方程為，求導(dǎo)得，∴過拋物線上、兩點(diǎn)的切線方程分別是， ，即 ， ，解得兩條切線、的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，∴∴.（3）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，由（2）知點(diǎn)必在直線上，又直線與橢圓有唯一交點(diǎn)，故的坐標(biāo)為，設(shè)過點(diǎn)且與拋物線相切的切線方程為：， 解得或 ……10分 故不妨取，即直線過點(diǎn). 綜上所述，橢圓上存在一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、 （、為切點(diǎn)），能使直線過點(diǎn).此時(shí)，兩切線的方程分別為和. 拋物線與切線、所圍成圖形的面積為 . 3已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為FF2，其中F2也是拋物線的焦點(diǎn)，M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且（I）求橢圓C1的方程； （II）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓C1上，頂點(diǎn)B、D在直線上，求直線AC的方程。 （1）求動點(diǎn)C的軌跡方程； （2）過點(diǎn)F在直線l2交軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l1于點(diǎn)R，求的最小值?！?1分的最小值為16 37．已知橢圓的長軸長為4。解：（1）由……2分 （2）由于過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N交于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱不妨設(shè)：M，N，P在橢圓上，則它們滿足橢圓方程，即有兩式相減得： 由題意它們的斜率存在，則 故所求橢圓的方程為 38. 已知橢圓的左右兩焦點(diǎn)分別為，是橢圓上的一點(diǎn)，且在軸的上方，是上一點(diǎn)，若，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(Ⅰ)求橢圓離心率的最大值。FF2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且面積的最大值為 （1）求橢圓C1的方程；（2）設(shè)橢圓短軸的上端點(diǎn)為A，M為動點(diǎn)，且成等差數(shù)列，求動點(diǎn)M的軌跡C2的方程；（3）作C2的切線交C1于O、R兩點(diǎn)，求證：解：（1）設(shè)橢圓C1的方程為， 2分 由橢圓的幾何笥質(zhì)知，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大。 （1）求橢圓C的方程； （2）過點(diǎn)且斜率為k的動直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)和面積的最大值；若不存在，說明理由。因此，在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）這時(shí)，點(diǎn)M到AB的距離設(shè)則得所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號成立。 (Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在定點(diǎn)，使恒為定值?若存在，求出的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由。 即 又∵[來將C點(diǎn)坐標(biāo)代入得 解得 c2=8，b2=4 ∴橢圓m： （2）由條件D（0，－2） ∵M(jìn)（0，t） 1176。當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè) 消y得 由△0 可得 ① 設(shè)則 ， ∴ 由 ∴② [來∴t1 將①代入②得1t4[*K∴t的范圍是（1，4） 綜上t∈（－2，4）44. 已知橢圓中心為，右頂點(diǎn)為，過定點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn).（1）若直線與軸垂直，求三角形面積的最大值；（2）若，直線的斜率為，求證：；（3）直線和的斜率的乘積是否為非零常數(shù)？請說明理由.解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）把代入可得：， （2分）則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號 （4分）（2）由得，（6分）所以 （3）直線和的斜率的乘積是一個(gè)非零常數(shù). 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為：，由消去整理得則 ① 又 ② 所以當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，由得兩交點(diǎn)，.45. 已知：橢圓（），過點(diǎn)，的直線傾斜角為，原點(diǎn)到該直線的距離為．（1）求橢圓的方程； （2）斜率大于零的直線過與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）是否存在實(shí)數(shù)，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解：（1）由， ，得，所以橢圓方程是：（2）設(shè)EF：（）代入，得，設(shè)，由，得．由，得，（舍去），（沒舍去扣1分）直線的方程為：即（3）將代入，得（*）記，PQ為直徑的圓過，則，即，又，得．解得，此時(shí)（*）方程，存在，滿足題設(shè)條件．：()過點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為，且．（1）求橢圓的方程；（2）若是直線上的兩個(gè)動點(diǎn)，且，則以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？請說明理由．解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則故，